Mezilehlé topologie na duálních Banachových prostorech

• Název práce v češtině: Mezilehlé topologie na duálních Banachových prostorech
• Název v anglickém jazyce: Intermediate topologies on dual Banach spaces
• Akademický rok vypsání: 2024/2025
• Typ práce: diplomová práce
• Ústav: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.

Zásady pro vypracování

Prokoumat a porovnat různé topologie na duálních Banachových prostorech, které se nacházejí mezi normovou a slabou* topologií. Studovat závislost vlastností těchto topologií a jejich vzájemných vztahů na vlastnostech příslušného Banachova prostoru. Ilustrovat vlastnosti na konkrétních příkladech.

Seznam odborné literatury

1. O.Kalenda. (I)-envelopes of closed convex sets in Banach spaces. Israel J. Math. 162 (2007), no. 1, 157-181.
2. O.Kalenda. (I)-envelopes of unit balls and James' characterization of reflexivity. Studia Math. 182 (2007), no. 1, 29-40.
3. O.Kalenda and M.Raja. Topologies related to (I)-envelopes. ArXiv:2303.07691

Předběžná náplň práce

Na duálním Banachově prostoru je možné uvažovat různé topologie, z funkcionální analýzy jsou dobře známé normová, slabá a slabá* topologie. Předmětem zkoumání by bylo zejména několik topologií nacházejících se mezi normovou a slabou* topologií, které jsou definovány pomocí jistého typu operátorů uzávěru. O těchto topologiích není známo mnoho (například není známo, zda jsou lokálně konvexní). Student by měl zpracovat jejich základní vlastnosti, jejich porovnání a konkrétní příklady a protipříklady.

Motivací pro zavedení takovýchto byla otázka (dosud otevřená), zda je možné (I)-obálku popsat pomocí uzávěru ve vhodné topologii. Přitom (I)-obálka je druh konvexní obálky množiny nacházející se mezi normově uzavřeným konvexním obalem a slabě* uzavřeným konvexním obalem. (I)-obálky vystihují generování slabě* kompaktních konvexních množin pomocí Jamesovy hranice, také slouží jako geometrický ekvivalent Simonsovy rovnosti z konvexní analýzy a optimalizace.