Konvergence metody konečných prvků v prostoru spojitých funkcí pro eliptické rovnice
| Název práce v češtině: | Konvergence metody konečných prvků v prostoru spojitých funkcí pro eliptické rovnice |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | On convergence of finite element method for elliptic equations in the space of contiuous functions |
| Klíčová slova: | spojité funkce|konvergence|eliptické rovnic|měřitelné koeficienty|metoda konečných prvků |
| Klíčová slova anglicky: | contiuous fuctions|convergence|elliptic equations|measurable coefficients|finite element method |
| Akademický rok vypsání: | 2025/2026 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| a) Seznámit se s výsledky o existenci spojitého slabého řešení pro elitpické rovnice s měřitelnými koeficienty
b) Seznámit se s výsledky o konvergenci metody konečných prvků v prostoru spojitých funkcí po problémy s hladkými koeficienty c) Aplikovat dostupné metody k dokázání konvergence ve spojitých funkcích také pro úlohy s měřitelnými koeficienty alespoň ve dvoudimenzionálním případě. |
| Seznam odborné literatury |
| Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations
Bensoussan, Alain, Frehse, Jens: Regularity Results for Nonlinear Elliptic Systems and Applications |
| Předběžná náplň práce |
| Důkaz konvergence metody konečných prvků a odhad řádu konvergence v Sobolevových prostorech je často spojován s vyšší hladkostí jednoznačného slabého řešení. Na druhou stranu je z pohledu mnoha aplikací (od čistě praktických až po čistě teoretické) potřeba studovat konvergenci i v prostoru spojitých funkcí. Tento problém je pro vhodně zvolené konečné prvky vyřešen pokud má eliptiký operátor hladké koeficienty. V mnoha případech, zejména pak při řešení komplikovanějších problémů, tomu tak není a matematická teorie je pro tento problém neznámá. Na druhou stranu je však známo, že jednoznačné slabé řešení je vždy spojité, či do konce Hoelderovsky spojité v jakékoliv dimenzi. Proto lze předpokládat, že pro vhodně zvolené konečné prvky by uvedená konvergence měla platit v jakékoliv dimenzi. Cílem práce je dokázat toto tvrzení alespoň v dimenzi dva. Pro řešení práce je nutné kombinovat znalosti z teorie konečných prvků a také teorie hladkosti slabých řešení pro eliptické rovnice. |