Moduly nad Frobeniovými a jim blízkými okruhy

• Název práce v češtině: Moduly nad Frobeniovými a jim blízkými okruhy
• Název v anglickém jazyce: Modules over Frobenius rings and rings close to them
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: disertační práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 15.09.2023
• Datum zadání: 15.09.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 05.10.2023

Zásady pro vypracování

(Kvazi-)Frobeniovy okruhy, které lze mimo jiné charakterizovat jako jednostranně injektivní artinovské okruhy, jejichž faktor podle Jacobsonova radikálu je izomorfní (podmodulu) soklu, zobecňují klasický pojem Frobeniovy algebry [2]. Tato podmínka implikuje pozoruhodnou vlastnost příslušné kategorie (pravých i levých) modulů, že injektivní a projektivní moduly splývají, a proto lze každý modul vnořit do projektivního a tudíž i volného modulu, která je velmi užitečná mimo jiné pro budování blokových kódů nad jinými okruhy než tělesy [4,7]. Přestože se podmínky vymezující třídy Frobeniových a kvazi-Frobeniových okruhů zdají být velmi restriktivní, důležité vlastnosti kategorie modulů nad Frobeniovými okruhy ani strukturní okruhové vlastnosti nejsou dosud kompletně popsány (více viz [6]). Známa není například odpověď na Faithovu otázku, zda je každý zleva či zprava perfektní zleva injektivní okruh nutně kvazi-Frobeniův [3].
Práce se bude zabývat zkoumáním kategorie modulů nad Frobeniovými okruhy a jim blízkými třídami okruhů (především kvazi-Frobeniovými či pseudo-Frobeniovými okruhy) a s tím související strukturní okruhovou teorií (například v návaznosti na [1,3,6]). Možná je rovněž cesta využití známé teorie (kvazi-)Frobeniových okruhů v teorii kódů [7] nebo jiných partiích matematiky (viz kupříkladu [5]).

Seznam odborné literatury

[1] G.F.Birkenmeier, O.Almallah: A classification of indecomposable quasi-Frobenius rings. I. Commun. Algebra 47, No. 12, 5121-5132 (2019).

[2] S. Eilenberg, T. Nakayama: On the dimension of modules and algebras. II. (Frobenius algebras and quasi-Frobenius rings.). Nagoya Math. J. 9, 1-16 (1955).

[3] P. A. Guil Asensio, A.K. Srivastava: MacWilliams extending conditions and quasi-Frobenius rings. J. Algebra 605, 394-402 (2022).

[4] T. Honold: Characterization of finite Frobenius rings. Arch. Math. 76, 406-415 (2001).

[5] X.D. Hou, A.A.Nechaev, A construction of finite Frobenius rings and its application to partial difference sets. J. Algebra 309, No. 1, 1-9 (2007).

[6] W. K. Nicholson and M. F. Yousif: Quasi-Frobenius rings. Cambridge Tracts in Mathematics, 158, Cambridge University Press, Cambridge (2003).

[7] J.A. Wood: Duality for modules over finite rings and applications to coding theory. Amer. J. Math. 121/3, 555-575 (1999).