Reprezentačně teoretické a homologické vlastnosti mírných algeber

• Název práce v češtině: Reprezentačně teoretické a homologické vlastnosti mírných algeber
• Název v anglickém jazyce: Representation-theoretic and homological properties of gentle algebras
• Akademický rok vypsání: 2022/2023
• Typ práce: disertační práce
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 15.09.2023
• Datum zadání: 15.09.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 03.10.2023

Zásady pro vypracování

Mírné (angl. gentle) algebry tvoří zajímavou a v poslední době intenzivně studovanou třídu algeber. Na jedné straně jde o speciální algebry, jejichž teorie reprezentací je popsána pomocí kombinatorických metod nebo tzv. geometrických modelů [1-3], které lze též interpretovat jako symplektickou stranu homologické zrcadlové symetrie [4]. Na druhou stranu jde o bohatou třídu algeber, které se přirozeně vyskytují na řadě míst (teorie reprezentací grup, tzv. cluster theory atp.) a dobře se použijí i jako testovací třída algeber na různé hypotézy.

Ačkoliv řada jejich reprezentačně teoretických vlastností již byla popsána (např. [5-9]), stále jich na rozpracování mnoho teprve čeká. Např. klasifikace torzních párů v kategorii konečně dimenzionálních modulů [8] není koncepčně uspokojivě vysvětlena a nabízí se rovněž rozšíření na klasifikaci t-struktur v omezené derivované kategorii (v některých speciálních případech je klasifikace k dipozici v [9]). Mimo semiortogonální rozklady [7] se dále nerozumí Verdierovým kvocientům kategorie perfektních komplexů. Navíc podobné otázky vyvstávají i pro související třídy algeber [10] nebo "vícedimenzionální" analogie mírných algeber [11].

Seznam odborné literatury

[1] K. Baur, R. Coelho-Simoes, A geometric model for the module category of a gentle algebra, Int. Math. Res. Not. IMRN 2021, no. 15, 11357–11392.

[2] K. Baur, R. Coelho-Simoes, Corrigendum: A geometric model for the module category of a gentle algebra. Int. Math. Res. Not. IMRN 2023, no. 7, 6291–6298.

[3] S. Opper, P.-G. Plamondon, S. Schroll, A geometric model for the derived category of gentle algebras, arXiv:1801.09659.

[4] F. Haiden, L. Katzarkov, M. Kontsevich, Flat surfaces and stability structures, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 126 (2017), 247–318.

[5] W. Chang, S. Schroll, Exceptional sequences in the derived category of a gentle algebra. Selecta Math. (N.S.) 29 (2023), no. 3, Paper No. 33.

[6] C. Amiot, P.-G. Plamondon, S. Schroll, A complete derived invariant for gentle algebras via winding numbers and Arf invariants. Selecta Math. (N.S.) 29 (2023), no. 2, Paper No. 30.

[7] J. Kopřiva, J. Šťovíček, Semiorthogonal decompositions for bounded derived categories of gentle algebras, arXiv:2209.14496.

[8] A. Chan, L. Demonet, Classifying torsion classes of gentle algebras, arXiv:2009.10266.

[9] R. Laking, K. Baur, Torsion pairs and cosilting in type \tilde{A}, J. Pure Appl. Algebra 226 (2022), no. 10, Paper No. 107057, 38 pp.

[10] S. Opper, A. Zvonareva, Derived equivalence classification of Brauer graph algebras, Adv. Math. 402 (2022), Paper No. 108341, 59 pp.

[11] T. Dyckerhoff, G. Jasso, Y. Lekili, The symplectic geometry of higher Auslander algebras: symmetric products of disks, Forum Math. Sigma 9 (2021), Paper No. e10, 49 pp.