Superkompaktní prostory a nezávislé množiny v grafech
| Název práce v češtině: | Superkompaktní prostory a nezávislé množiny v grafech |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Supercompact spaces and independent sets in graphs |
| Klíčová slova: | kompaktní prostor|metrický prostor |
| Klíčová slova anglicky: | compact space|metric space |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Nastudovat dostupnou literaturu o superkompaktních prostorech a zpracovat důkaz, že každý kompaktní metrický prostor je superkompaktní.
|
| Seznam odborné literatury |
| R. Engelking: General topology
J. van Mill: Supercompactness and Wallman spaces C. F. Mills: A simpler proof that compact metric spaces are supercompact S. B. Nadler: Continuum theory |
| Předběžná náplň práce |
| Topologický (nebo metrický) prostor se nazývá superkompaktní pokud má takovou subbázi, že libovolné pokrytí vybrané z této subbáze má dvouprvkové podpokrytí.
Snadno se ukáže, že uzavřený interval, Cantorova množina nebo Hilbertova kostka jsou superkompaktní. Je ovšem známo mnohem více - a sice, že každý kompaktní metrický prostor je již superkompaktní. Na druhou stranu existují příklady (topologických) kompaktních prostorů, které superkompaktní nejsou. Superkompaktnost přirozeně souvisí s pojmem grafového prostoru: máme-li (neorientovaný) graf G=(V, E), pak grafový prostor má za nosnou množinu všechny maximální nezávislé podmnožiny V (tj. ty množiny, že žádné dva body v ní nejsou spojeny hranou) a topologie je popsaná subbází sestávající ze systému těch maximálních nezávislých množin, které neobsahují daný vrchol v z množiny V. Díky tomu je možné každý kompaktní metrizovatelný prostor reprezentovat spočetným grafem. Uvedená korespondence není dostatečně probádaná a nabízí se řada přirozených otázek: a) Hledat k danému grafu odpovídající kompaktní prostor (např. pro náhodný graf) b) Hledat k danému kompaktnímu prostoru odpovídající graf (např. pro oblouk nebo pseudooblouk) |