Témata prací (Výběr práce)Témata prací (Výběr práce)(verze: 368)
Detail práce
   Přihlásit přes CAS
Spočetně hustě homogenní prostory
Název práce v češtině: Spočetně hustě homogenní prostory
Název v anglickém jazyce: Countable dense homogeneous spaces
Klíčová slova: topologický prostor|hustá množina|homeomorfismus
Klíčová slova anglicky: topological space|dense set|homeomorphism
Akademický rok vypsání: 2022/2023
Typ práce: diplomová práce
Jazyk práce:
Ústav: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Vedoucí / školitel: doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D.
Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
Datum přihlášení: 30.03.2023
Datum zadání: 30.03.2023
Datum potvrzení stud. oddělením: 13.04.2023
Zásady pro vypracování
Student se seznámí s pojmem spočetné husté homogenity v topologických prostorech. Zpracuje základní výsledky a popíše techniky, které umožňují ukázat spočetnou hustou homogenitu řady prostorů (např. euklidovských prostorů, Hilbertovy kostky, Baireova prostoru nebo Cantorova diskontinua). Následně se může věnovat některému z otevřených problémů v této oblasti.
Seznam odborné literatury
R. Bennett: Countable dense homogeneous spaces, Fundamenta Mathematicae 1972
R. Hernández-Gutiérrez: Countable dense homogeneity and the double arrow space, Topology and its Applications 2013
M. Hrušák, J. van Mill: Open problems on countable dense homogeneity, Topology and its Applications 2018
J. van Mill: The infinite dimensional topology of function spaces, 2002
Předběžná náplň práce
Separabilní topologický prostor X se nazývá spočetně hustě homogenní, pokud pro každé dvě jeho spočetné husté podmnožiny A, B existuje homeomorfismus X na sebe,
který převádí A na B. Klasickým výsledkem je, že euklidovské prostory tuto vlastnost mají, ale důkaz není triviální již pro reálnou přímku.
Existují obecná kriteria (tzv. silná lokální homogenita), která umožní ověřit spočetnou hustou homogenitu v konkrétních příkladech pohodlným způsobem.
Řada otevřených otázek v této oblasti je shrnuta v článku Hrušáka a van Milla (2018).
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
A separable topological space X is called countable dense homogeneous if for every pair of coutable dense subsets A, B in X there exists a homeomorphism of X onto itself which maps the set A onto the set B. It is a classical result that Euclidean spaces have this property but the proof is nontrivial even for the real line.
There are some criteria (so called strong local homogeneity) which allows us to verify countable dense homogeneity in a simple way.

The student will start with the notion of countable dense homogeneity. Then he/she describes the techniques which may help to proof countable dense homogeneity of several spaces (including Euclidean spaces, Hilbert cube, Baire space or Cantor discontinuum). Consequently, an open problem from a recent paper by Hrušák and van Mill (2018) can be a challange.
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK