Polynomiální a exponenciální kongruence

• Název práce v češtině: Polynomiální a exponenciální kongruence
• Název v anglickém jazyce: Polynomial and exponential congruences
• Klíčová slova: kongruence, kvadratická reciprocita, Legendrův symbol, Malá Fermatova věta, Eulerova funkce, multiplikativní grupa Z_n
• Klíčová slova anglicky: congruence, quadratic reciprocity, Legendre symbol, Fermat's little theorem, Euler's totient function, multiplicative group of integers modulo n
• Akademický rok vypsání: 2022/2023
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Vedoucí / školitel: JUDr. Mgr. Filip Beran
• Řešitel: Bc. Matěj Kovářík - zadáno vedoucím/školitelem, čeká na schválení garantem
• Datum přihlášení: 05.04.2023
• Datum zadání: 04.12.2023
• Datum a čas obhajoby: 11.01.2024 09:00
• Místo konání obhajoby: M. Rettigové 4, Praha 1, R318, 318, matematika, 3. patro, vlevo
• Datum odevzdání elektronické podoby: 14.12.2023
• Datum proběhlé obhajoby: 11.01.2024
• Předmět: Obhajoba bakalářské práce (OSZD104MA)
• Oponenti: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Student(ka) podá přehledný a konstruktivisticky pojatý výklad řešení polynomiálních a exponenciálních kongruencí (PK, EK), který bude možné používat jako skripta k druhé části předmětu Teorie čísel na PedF.

Důraz bude kladen na
(a) motivaci a význam řešení PK, EK v návaznosti na lineární kongruence (BP Kaňáková: Lineární diofantické rovnice a kongruence), podobnosti a rozdíly oproti běžnému řešení PK a EK,
(b) intuitivně vedený výklad postupující od zkoumání úloh x^a ≡ b (mod n) a a^x ≡ b (mod n) přes Malou Fermatovu, resp. Eulerovu větu ke sjednocujícímu grupovému náhledu (struktura Zp, resp. Zn, zejm. jejich generátory alias primitivní prvky),
(c) úplné vysvětlení řešení kvadratických kongruencí s pomocí Legendorva a Jacobiho symbolu a Gaußovy věty o kvadratické reciprocitě a ilustrativní vysvětlení zobecnění pro polynomy vyššího stupně (kubické, kvartické, bikvadratické...),
(d) vytvoření dostatečně reprezentativní sbírky úloh k procvičení,
(e) podrobnou rešerši tuzemských zdrojů (závěrečné práce, skripta, matematický korespondenční seminář apod.),
(f) možná využití tématu jako rozšíření školské matematiky a případné základní aplikace těchto postupů na řešení jiných úloh.

Seznam odborné literatury

KŘÍŽEK, Michal, Lawrence SOMER a Alena ŠOLCOVÁ. Kouzlo čísel: od velkých objevů k aplikacím. Praha: Academia, 2018.
STILLWELL, John. Elements of Number Theory. New York: Springer, 2003.
DUDLEY, Underwood. A Guide to Elementary Number Theory. Washington: Mathematical Association of America, 2009.
GAUSS, Carol Frideric. Disquisitiones arithmeticae. Lipsko: Gerhard Fleischer, 1801. xviii, 668 s.

Tuzemské a další zdroje dle domluvy s vedoucím.

Doplňkově:
BP Kubická a bikvadratická reciprocita: https://dspace.cuni.cz/handle/20.500.11956/107673.