Student se seznámí s Garsiovou-Rodemichovou-Rumseyovou nerovností, zpracuje její důkaz a pojedná o jejích vybraných aplikacích (pozornost může být např. věnována kritériu pro spojitost trajektorií náhodného procesu). Předpokládaným výstupem je práce přehledového charakteru.
Seznam odborné literatury
[1] A.M. Garsia, E. Rodemich, H. Rumsey Jr. A real variable lemma and the continuity of paths of some Gaussian processes, Indiana University Mathematics Journal 20(6) (1970) 565-578.
[2] P.K. Friz, N.B. Victoir, Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths, Cambridge University Press, 2010.
Předběžná náplň práce
V pokročilé teorii pravděpodobnosti a stochastické analýze hrají ústřední roli tzv. náhodné procesy, které představují modely pro dynamiku systémů ovlivněných náhodou (motivace pro zavedení náhody do modelovaného systému může být různá - jako příklad můžeme uvést měření polohy jistého objektu v daném prostředí, které provádíme s náhodnou nesystematickou chybou, nebo časový vývoj ceny jisté komodity, jejíž budoucí hodnotu nelze předpovědět přesně a náhoda zde figuruje jako kvantifikace naší neznalosti).
Podobně jako si lze náhodnou veličinu představit jako náhodné číslo, náhodný proces si lze představit jako náhodnou funkci. Jednou ze základních otázek stochastické analýzy je, za jakých podmínek můžeme říci, že (skoro) všechny takto získané náhodné funkce budou spojité. Na tuto otázku dává odpověď tzv. Kolmogorovova-Čencovova věta, která poskytuje jednoduše ověřitelné kritérium spojitosti trajektorií. V literatuře existuje několik důkazů této užitečné věty a jeden z nich je založen právě na GRR nerovnosti z názvu práce a tím propojuje Kolmogorovovu-Čencovovu větu s hlubokými vztahy mezi jistými prostory funkcí.
