Moufangové rovina a spinové grupy

• Název práce v češtině: Moufangové rovina a spinové grupy
• Název v anglickém jazyce: Moufang plane and Spin groups
• Klíčová slova: Spinové grupy|nedesarguesovské roviny|tranzitivní akce|Jordanovy algebry
• Klíčová slova anglicky: Spin groups|non-desarguesian planes|transitive actions|Jordan algebras
• Akademický rok vypsání: 2021/2022
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Řešitel: Mgr. Dominik Stejskal - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 21.10.2021
• Datum zadání: 08.12.2021
• Datum potvrzení stud. oddělením: 30.03.2022
• Datum a čas obhajoby: 16.06.2022 08:30
• Datum odevzdání elektronické podoby: 12.05.2022
• Datum odevzdání tištěné podoby: 16.05.2022
• Datum proběhlé obhajoby: 16.06.2022
• Oponenti: Mgr. Marie Holíková, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Zájemce o práci se seznámí s Cliffordovými algebrami, spinovými grupami a spinorovými reprezentacemi, grupou F_4, Moufangovou rovinou, základy Lieových grup a tranzitivních akcí na hladkých varietách.

Seznam odborné literatury

Baez, J., The Octonions, Bulletin of the American Mathematical Society. 39 (2), 145–205, 2002, arXiv:math/0105155. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X.
Harvey, R., Spinors and Calibrations, ISBN-13: 978-0123296504.
Dostálová, M., Projektivni roviny, Projektivni oktonionova rovina a nedesarguesovskost, bakalářská práce,
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, Praha 2009.
Franek, P., Pazourek, K., Tuček, V., Hyperplane Section of the Complex Cayley Plane as the Homogenous Space F4/P4, Comment. Math. Univ. Carolin. 52, 4 (2011), 535-549.
Freudenthal, H., Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Geometriae Dedicata, 19: 7–63, 1985, doi:10.1007/bf00233101.
FrTiedrich, T., Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, Teubner--Verlag.
its, J., Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles, Indagationes Mathematicae 28, 223–237, 1966, doi:10.1016/S1385-7258(66)50028-2.

Předběžná náplň práce

Odvoditelnost tvrzení Desarguese bylo předmětem projektivní geometrie počátku dvacátého století. Toto tvrzení je větou v případě projektivních rovin nad (komutativními) tělesy. Příkladem projektivní roviny, pro niž Desarguesovo tvrzení neplati, je tzv. rovina Ruth Moufangové, kterou Moufangová nalezla s pomocí oktonionů. Je známo, že neodvoditelnost 5. postulátu eukleidovské geometrie byla dokázána konstrukcí příslušných modelů (klasicky Lobačevského nebo sférické geometrie). Rovina Ruth Moufangové je homogenním prostorem pro grupu F_4, jež je grupou automorfizmů jedné z výjimečných algeber Jordana.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

From the beginning of the 20th century, there was a task of whether the Desargues assertion is a theorem. This assertion can be proved for
projective planes defined over commutative fields. The plane of Ruth Moufang is an example of a plane for which the Desrgues assertion does not hold.
It was defined using the octonions, which are non-associative. It is well known that the Fifth postulate of Euclidean geometry was proved by constructing models (Lobačevskij and spherical geometry). The plane of Moufang is a homogeneous space for Lie group F_4, which is defined as a group of automorphisms of a commutative algebra of P. Jordan.