Riešiteľ(ka) sa zoznámi s pojmom log-konkávnych mier a ich rozšíreniami, prehľadne spíše ich základné vlastnosti a uvedie príklady takýchto mier.
Seznam odborné literatury
S. Dharmadhikari and K. Joag-Dev (1988). Unimodality, convexity, and applications. Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, Inc., Boston, MA.
C. Borell (1975). Convex set functions in d-space. Period Math. Hungar., 6, 111-136.
Y. Rinott (1976). On convexity of measures. Ann. Probability, 4, 1020-1026.
A. Prékopa (1995). Stochastic programming. Springer, Dordrecht.
Předběžná náplň práce
Rovnomerné rozdelenia na konvexných množinách K v R^d sú asi najjednoduchšie príklady viacrozmerných pravdepodobnostných mier. Ich prirodzeným rozšírením sú tzv. log-konkávne miery, čo sú pravdepodobnostné miery v R^d s hustotou f, ktorá sa dá napísať vo forme f(x) = exp(g(x)) pre g konkávnu funkciu na R^d. Log-konkávne miery majú radu zaujímavých vlastností, a v istom zmysle predstavujú prirodzené rozšírenie triedy unimodálnych rozdelení z reálnej osi R (t.j. rozdelení so spojitými hustotami, ktoré majú jediné lokálne maximum) do priestoru R^d. Log-konkávne miery je možné ďalej zovšeobecňovať. Získavame celú hierarchiu "rozumných" pravdepodobnostných mier na ktorej jednom konci sú log-konkávne miery, a na druhom miery ktorých hustoty f majú konvexné horné úrovňové množiny {x v R^d : f(x) > c}. Cieľom práce je popis tohto systému konkávnych mier, odvodenie ich základných vlastností a vzťahov medzi nimi. Výklad bude doplnený príkladmi jednoduchých viacrozmerných mier ktoré splňujú rôzne vlastnosti konkavity.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
The uniform distributions on convex sets in R^d are possibly the simplest examples of multivariate probability measures. Their natural generalizations are the so-called log-concave measures, i.e. probability measures in R^d with a density f, that can be written in the form f(x) = exp(g(x)) for g a concave function on R^d. The log-concave measures have an array of interesting properties. In a sense, they present a natural generalization of the class of unimodal distributions from the real line R (i.e. distributions with continuous densities possessing a single local maximum) into the space R^d. Log-concave measures can be further generalized. We obtain a whole hierarchy of "reasonable" probability measures. On one end we have the log-concave measures, and on the other one stand measures whose densities f have convex upper level sets {x in R^d : f(x) > c}. The goal of this thesis is a description of this system of concave measures, and derivation of their elementary properties and interrelations. The exposition will be completed by examples of simple multivariate measures satisfying various concavity properties.
