Geometric integrators
| Název práce v češtině: | Geometrické integrátory |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Geometric integrators |
| Klíčová slova: | Obyčejná diferenciální rovnice|numerické řešení|hamiltonovský formalismus|symplektický integrátor|Poissonovský integrátor |
| Klíčová slova anglicky: | Ordinary differential equation|numerical solution|Hamiltonian formalism|symplectic integrator|Poisson integrator |
| Akademický rok vypsání: | 2019/2020 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | angličtina |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Michal Pavelka, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 27.02.2020 |
| Datum zadání: | 27.02.2020 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 18.09.2020 |
| Datum a čas obhajoby: | 08.07.2021 09:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 25.05.2021 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 25.05.2021 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 08.07.2021 |
| Oponenti: | RNDr. Jaroslav Hron, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| Během práce by měly být vypracovány tyto body:
1) Úvod do hamiltonovské mechaniky (symplektická a Poissonovská) [1] 2) Úvod do symplektických a poissonovských integrátorů [2,3] 3) Implementace vybraných algoritmů pro vybrané problémy (např. harmonický oscilátor, pohyb v gravitačním poli) [2,3] 4) Implementace nových integrátorů z [4] a porovnání s klasickými integrátory například na pohybu částic a rotaci tuhého tělesa. |
| Seznam odborné literatury |
| 1] Pavelka, Klika, Grmela. Multiscale Thermo-Dynamics, de Gruyter (Berlin), 2018
[2] Hairer, Lubich, Wanner, Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer 2006 [3] Karasözen, Poisson integrators, Mathematical and Computer Modelling, Volume 40, Issues 11–12, 2004, Pages 1225-1244. [4] Pavelka, Klika, Grmela, Ehrenfest regularization of Hamiltonian systems, Physica D: Nonlinear phenomena, 399, 193-210, 2019 |
| Předběžná náplň práce |
| Stojíme před problémem vyřešit numericky pohybovou rovnici pro částici konající periodický pohyb (kyvadlo, obíhání kolem hvězdy, apod.). Jakou numerickou metodu zvolit? Ukazuje se, že klasické metody typu Runge-Kutta typicky nezachovávají energii ani tvar trajektorie. Naštěstí existují symplektické integrátory, kteřé řeši Hamiltonovy kanonické rovnice a které jak energii tak tvar trajektorií zachovávají poměrně přesně. Existuje však nějaký obecný postup jak konstruovat symplektické integrátory?
Kromě symplektické geometrie, která je vyjádřena Hamiltonovými kanonickými rovnicemi, existuje i obecnější Poissonovská geometrie, kde už Poissonův bivektor může být degenerovaný a nemůžeme tak hovořit o symplektické formě. Například volný setrvačník je příkladem Poissonovské mechaniky. Jak zobecnit geometrické integrátory, které fungovali dobře pro symplektické systémy, na Poissonovskou geometrii? |