Prediktabilní variace a kvadratická variace procesů se spojitým časem.
| Název práce v češtině: | Prediktabilní variace a kvadratická variace procesů se spojitým časem. |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Predictable variation and quadratic variation of continuous time processes. |
| Klíčová slova: | Prediktabilní variace|kvadratická variace|semimartingaly|stochastický integrál. |
| Klíčová slova anglicky: | Predictable variation|quadratic variation|semimartingales|stochastic integrals. |
| Akademický rok vypsání: | 2023/2024 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student/ka se se známí s problematikou variací procesů se spojitým časem. Seznámí se s různými variantami měřitelnosti a ukáže mezi nimi vztahy. Zejména se zaměří na definice prediktabilní variace pomocí Doobova-Meyerova rozkladu a na definici kvadratické variace přes limitu součtů přírustků na dělení. Uvede příklady, kdy se tyto variace rovnají a kdy ne. Popíše jejich vztahy a použití při konstrukci stochastických integrálů.
Všechny definice a věty budou pečlivě vyslovené a dokázané. Student/ka samostatně najde příklady a protipříklady na kterých budou teoretické výsledky vhodně ilustrovány, zahrnuty budou také standardní případy Gaussových a Poissonových procesů. |
| Seznam odborné literatury |
| Karatzas, I. a Shreve, S.E. (1991) Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag.
Bichteler, K. (2002) Stochastic Integration with Jumps. Cambridge University Press. Kallenberg, O. (2002) Foundation of Modern Probability. Springer Verlag. Fleming, T.R. a Harrington, D.P. (1991) Counting Processes and Survival Analysis. John Wiley & Sons. |
| Předběžná náplň práce |
| Ve světě spojitých martingalů je jedním z klíčových pojmů kvadratická variace. Jakmile však místo spojitosti přejdeme k procesům spojitým zprava s limitou zleva, je nutné začít rozlišovat dva pojmy, které u spojitých (lokálních) martingalů splývají: prediktabilní variace a kvadratická variace. Ty již nejsou stejné a obě mají svou úlohu při popisu stochastických procesů a při konstrukci stochastických integrálů. U nespojitých procesů je také nutné pečlivě rozlišovat spojitost zprava (s limitou zleva) a spojitost zleva (s limitou zprava). Jistou motivaci lze nalézt u procesů s diskrétním časem, které z podstaty nejsou spojité.
Součástí práce může být i "detektivní" hledání původu obou pojmů a vývoj jejich použití a zkoumání. Práce je teoreticky zaměřená a vyžaduje studium více zdrojů. |