Small order quasigroups with minimum number of associative triples

• Název práce v češtině: Kvazigrupy malých řádů s minimálním počtem asociativních trojic
• Název v anglickém jazyce: Small order quasigroups with minimum number of associative triples
• Klíčová slova: kvazigrupy; latinské čtverce; index asociativity
• Klíčová slova anglicky: quasigroups; latin squares; associativity index
• Akademický rok vypsání: 2017/2018
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 12.12.2017
• Datum zadání: 12.12.2017
• Datum potvrzení stud. oddělením: 03.01.2018
• Datum a čas obhajoby: 18.09.2018 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 16.07.2018
• Datum odevzdání tištěné podoby: 20.07.2018
• Datum proběhlé obhajoby: 18.09.2018
• Oponenti: RNDr. Petr Lisoněk, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Pro kvazigrupu Q ať a(Q) značí počet asociativních trojic. Trojice (x,y,z) prvků z Q je asociativní, pokud (xy)z = x(yz). Pro n>0 ať a(n) je rovno minimu a(Q), kde Q probíhá kvazigrupy řádu n. Hlavním cílem diplomové práce je určit a(8) a eventuelně a(9). Jde o úlohy pohybující se na hranici možností dostupné výpočetní techniky. Úlohy je třeba dělit do podúloh, které vycházejí z odhadů, jež nedávno dokázal vedoucí diplomové práce. Vytýčení podúloh vyžaduje pečlivý kombinatorický rozbor případů. Jejich popis je jeden ze stěžejních cílů práce. Dále v práci budou vyloženy myšlenky použitého algoritmu. Jde o sofistikovaný postup značně vzdálený prvotnímu naivnímu přístupu. Jednotlivá vylepšení budou dokumentována měřeními, která potvrzují jejich účelnost. Pozornost bude také věnována vlastnostem nalezených extrémně neasociativních kvazigrup, a to zejména v řádu 8, kde lze očekávát využití těchto kvazigrup v kryptografii. Pokud by čas a prostor dovolily (což není příliš pravděpodobné), tak lze práci ještě rozšířit směrem k popisu některých kryptosystémů založených na kvazigrupách nebo směrem k využití genetických algoritmů při hledání kvazigrup s malým počtem asociativních trojic.

Seznam odborné literatury

A. Christov: Quasigroup Based Cryptography, diplomová práce, Karlova Univerzita, Praha, 2009
C. J. Colbourn, J. H. Dinitz a I. M. Wanless: Latin Squares, in: Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition (eds.
C. J. Colbourn a J. H. Dinitz), Chapman and Hall/CRC, 2006.
A. Drápal a V. Valent: Few associative triples, isotopisms and groups, Des. Codes Cryptogr. (2017), doi:10.1007/s10623-017-0341-9.
Grošek, Otokar; Horák, Peter: On quasigroups with few associative triples. Des. Codes Cryptogr. 64 (2012), no. 1-2, 221–227.
Kotzig, Anton; Reischer, Corina: Associativity index of finite quasigroups. Glas. Mat. Ser. III 18(38) (1983), no. 2, 243–253.

Pro obecný přehled o kombinatorických vlastnostech kvazigrup lze použít
Donald Keedwell and József Dénes: Latin Squares and Their Applications, Second Edition, North Holland, 2015