Universal quadratic forms over number fields
| Název práce v češtině: | Univerzální kvadratické formy nad číselnými tělesy |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Universal quadratic forms over number fields |
| Klíčová slova: | univerzální kvadratická forma, číselné těleso, bikvadratické, řetězový zlomek, aditivně nerozložitelný prvek |
| Klíčová slova anglicky: | universal quadratic form, number field, biquadratic, continued fraction, additively indecomposable element |
| Akademický rok vypsání: | 2015/2016 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | angličtina |
| Ústav: | Katedra algebry (32-KA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 15.10.2015 |
| Datum zadání: | 17.10.2015 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 24.05.2016 |
| Datum a čas obhajoby: | 17.06.2016 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 26.05.2016 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 27.05.2016 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 17.06.2016 |
| Oponenti: | Ing. Tomáš Hejda, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| A quadratic form over a totally real number field K is universal if it is totally positive and represents all totally positive elements of the ring of integers O_K. Recently, the arity of universal forms over a real quadratic field Q(sqrt D) has been connected [1, 3] to the existence of certain (additively indecomposable) elements [2] via the continued fraction expansion of sqrt D.
The goal of the thesis is to work out in detail the related theory (including some relevant results from algebraic number theory) and to get acquainted with these results. The student will illustrate the results on examples of specific fields and study similar problems in the setting of number fields of higher degree, especially biquadratic ones. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] V. Blomer, V. Kala, Number fields without universal n-ary quadratic forms, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 159 (2015), 239-252.
[2] S. W. Jang, B. M. Kim, A refinement of the Dress–Scharlau theorem, J. Number Theory 158 (2016), 234-243. [3] V. Kala, Universal quadratic forms and elements of small norm in real quadratic fields, preprint. [4] J. S. Milne: Algebraic Number Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html. [5] M. R. Murty, J. Esmonde: Problems in Algebraic Number Theory, GTM 190. [6] S. Lang: Algebraic Number Theory, GTM 110. |