Homotopické metody v teorii reprezentací

• Název práce v češtině: Homotopické metody v teorii reprezentací
• Název v anglickém jazyce: Homotopy theoretic methods in representation theory
• Akademický rok vypsání: 2015/2016
• Typ práce: disertační práce
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 03.10.2016
• Datum zadání: 03.10.2016
• Datum potvrzení stud. oddělením: 03.10.2016

Zásady pro vypracování

Hlavním cílem homotopické teorie [10] původně byla snaha o pochopení topologických prostorů až na homotopickou ekvivalenci a také pochopení homotopicky invariantních konstrukcí. K tomu byla postupně vyvíjena silná teorie, která je velice užitečná mimo jiné v moderní homologické algebře.

Překvapivě těžkým problémem se ukázala abstraktní axiomatizace homotopické teorie. Kromě klasických přístupů (triangulované kategorie, modelové kategorie [6]) a moderní a velice náročné teorie \infty-kategorií [8] existují různé alternativní přístupy. Nadějný přístup, který elegantním způsobem spojuje metody teorie reprezentací [1,2] a homotopickou teorii [10] pochází od Hellera, Grothendiecka, Frankeho a dalších. Jedná se o teorii derivátorů [4], která se zaměřuje na vlastnosti kalkulu homotopických Kanových rozšíření a vytváří zajímavou rovnováhu mezi teoretickou silou a početní přístupností studovaných pojmů.

Řešitel se po seznámení s existující teorií zaměří na využití metod teorie reprezentací v homotopické teorii a naopak. Konkrétní cíle budou např.

1) pochopení ekvivalencí stabilních homotopických teorií, ve smyslu [5], které zobecňují Moritovy ekvivalence dg algeber [7] studované v [9],

2) zobecnění komplikovanějších pojmů z teorie triangulovaných kategorií do kontextu derivárorů,

3) pochopení, jak lze modelovat důležité třídy algeber v kontextu derivátorů.

Seznam odborné literatury

[1] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras. Vol. 1 - Techniques of representation theory, LMS Student Texts 65, Cambridge, 2006.

[2] M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge, 1997.

[3] M. Groth, Derivators, pointed derivators and stable derivators, Algebr. Geom. Topol. 13 (2013), 313–374.

[4] M. Groth, Introduction to the theory of derivators, monograph in preparation.

[5] M. Groth, J. Šťovíček, Tilting theory via stable homotopy theory, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), DOI: 10.1515/crelle-2015-0092

[6] M. Hovey, Model categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, AMS, Providence, RI, 1999.

[7] B. Keller, Deriving DG categories, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 27 (1994), no. 1, 63–102.

[8] J. Lurie, Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies 170, Princeton, 2009.

[9] S. Oppermann, Quivers for silting mutation, arXiv:1504.02617.

[10] R. M. Switzer, Algebraic topology - homotopy and homology, Springer-Verlag, 1975.