Student by měl pochopit základní pojmy a příslušnou teorii: Separabilní algebry, redukované normy, stopy, "maximal order" a propočítat některá cvičení z [1]. Dále pak něco ze strukturní teorie, nejlépe Jordanovu-Zassenhausovu větu, což je vlastně zobecnění tvrzení o konečnosti třídové grupy číselného tělesa.
Seznam odborné literatury
[1] I. Reiner, Maximal Orders, LMS monographs new series 28, Oxford University Press, 2003
[2] A. Drápal, Komutativní okruhy (skripta k přednášce), http://www.karlin.mff.cuni.cz/~drapal/
Předběžná náplň práce
Jedním z klíčových objektů v algebraické teorie čísel je Dedekindův obor, kde místo jednoznačnosti rozkladů prvků na součin prvočinitelů máme podobné tvrzení pro ideály (viz přednáška Komutativní okruhy). Podobné vlastnosti lze pozorovat u určitých okruhů, které tvoří jakousi mříž v separabilní konečně-dimenzionální algebře nad číselným tělesem (příkladem může být okruh čtvercových matic s celočíselnými koeficienty). Takové okruhy se označují jako 'maximal orders'. Některé klasické výsledky z teorie čísel je možno získat právě oklikou přes tyto objekty, například známé tvrzení, že každé přirozené číslo je součtem čtyř čtverců, je vlastně tvrzení o redukované normě racionálních kvaternionů.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
Dedekind domain (that is a commutative domain with unique factorization of ideals) is one of the basic objects in algebraic number theory. Some of its properties can be seen in rings that form lattices in finite-dimensional separable algebras over algebraic number fields (for example ring of square matrices with integral coefficients). Such rings are called maximal orders. Some classical results from number theory can be derived as results about maximal orders. For example, the statement 'every positive rational integer is a sum of four squares' can be seen (and proved) as a statement on a reduced norm of rational quaternion algebra.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.