Přednáška poskytuje, spolu s paralelní přednáškou analýzy,
základní matematický kurs pro studenty fyziky.
Důraz je kladen i na propojení znalostí
všech těchto oboru.
Klíčová témata přednášky:
Jordanův tvar, samoadjungované operátory, kvadratické formy,
tensory.
Poslední úprava: T_KMA (22.05.2001)
This course gives, together with parallel
courses on analysis, a basic course of mathematics
for physicists. Emphasis is given also to
relationship of all these disciplines.
Keywords: selfadjoint operators,
quadratic forms, tensors.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (21.02.2019)
Předmět je zakončen složením zápočtu a zkoušky. Složení zápočtu je podmínkou pro účast u zkoušky. Podmínky zkoušky jsou specifikovány v dokumentu Požadavky ke zkoušce. Zápočet je udělován za průběžnou a systematickou práci na cvičení a jeho povaha tedy vylučuje možnost opakování, s výjimkou velkého zápočtového testu.
Pro získání zápočtu bude třeba splnit současně dvě kritéria:
získat 70% bodů za práci na cvičení (v součtu)
získat 50% bodů za testy (v součtu)
Testy:
Dva malé testy, píší se na cvičení v předem specifikovaných týdnech, za každý maximum 8 bodů, bez možnosti opravného termínu.
Velký test, píše se na poslední přednášce, 5-6 příkladů z učiva celého semestru, maximum 30 bodů, dva předem vyhlášené opravné termíny v průběhu zkouškového období.
V součtu za oba testy je tedy třeba získat 23 bodů. Opravný test může buď nahradit výsledek velkého testu (hranice úspěšnosti je pak 23 bodů), nebo být posuzován samostatně bez přihlížení k malým testům (v tom případě je hranice 19 bodů).
Práce na cvičení
Za každé z 10-12 témat (každé odpovídá jedné přednášce) je možné získat 10 bodů, dalších 10 je možné získat za aktivitu na cvičení (např. prezentaci obtížnější úlohy). Je třeba získat alespoň 70% bodů z celkového počtu takto dostupných bodů.
Z 10 bodů za dané téma je zpravidla 8 bodů za aktivitu na cvičení nebo domácí úlohy a 2 body za předpřednáškový kvíz.
Kdo získá méně než 70% z celkového počtu dostupných bodů, ale alespoň 50% bodů, bude moci kritérium práce na cvičení splnit dodatečnými domácími úlohami dle seznamu na webu kurzu. Je třeba odevzdat všechny úlohy, bez ohledu na to, kolik procent bodů do 70% chybí.
Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do 15. března.
Literatura
Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)
L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (28.02.2018)
Zkouška se skládá ze dvou částí, kterými je písemný orientační test a ústní zkoušení s přípravou. Orientační test předchází ústní zkoušce. Podmínkou složení zkoušky je úspěšné složení obou částí.
Orientační test obsahuje 5 otázek rovnoměrně pokrývajících sylabus předmětu v rozsahu, v jakém byl odpřednesen. Cílem orientačního testu je ověřit znalost základních pojmů a tvrzení z přednášky a porozumění jim, přesné požadavky jsou specifikovány na webu kurzu. Test je úspěšně složen získáním alespoň 70% bodů z něj. Pouze v případě jeho složení následuje ústní část.
Cílem ústní části je ověřit hloubku znalostí studenta, zejména co se týče porozumění vztahům mezi pojmy z přednášky a důkazům tvrzení. Před samotným zkoušením má student možnost přiměřené písemné přípravy. Na základě znalostí studenta u ústní části stanoví zkoušející známku z celé zkoušky. Může při tom přihlédnout k výsledkům orientačního testu, zároveň v případě zjištění základní neznalosti pojmu či tvrzení z požadavků ke zkoušce může být i u ústní části udělena známka nevyhověl.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)
Exponenciála matice. Definice, základní vlastnosti (vlastní vektory exponenciály, exponenciála podobných matic). Vztah Tr A a det exp A . Příklady .
Pojem Lieovy algebry a příklady : g = gl, sl, o, u, su. Vztahy typu exp g = G. Izomorfismus vektorového násobení a komutování v o(3).
Teorie nilpotentních operátorů. Ekviv. charakterizace pomocí spektra, příklady (operátory derivování na polynomech). Studium posloupnosti kořenových podprostorů k-tého řádu a alternativně k-násobných obrazů. Nezávislost vůči podprostoru. Konstrukce počátečních vektorů řetězců dávajících Jordanovu basi prostoru .
Direktní rozklad prostoru na kořenové podprostory daného operátoru . Obecná Jordanova věta. Věta Hamilton Cayleyho. Exponenciála Jordanovy matic s použitím na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.
Positivní a stochastické matice. Hledání největšího vlastního čísla iterací. Interpretace příslušného vlastního vektoru (stacionární stav systému).
Dualita a skalární součin: věta o representaci lineární formy (skalárním násobením vhodným vektorem). Pojem adjungovaného operátoru. Samoadjungované (Hermitovské), unitární, obecněji normální operátory. Adjunkce diferenciálního operátoru a metoda per partes.
Věta o spektrálním rozkladu normálního operátoru. Příklad - operátor derivování na trigonometrických polynomech. Funkce normálního operátoru. Ortogonální polynomy (příklad : Hermitovy, Legendreovy) jako výsledek ortogonalizačního procesu ve vhodném skalárním součinu (alternativně jako vlastní vektory vhodného diferenciálního operátoru). Kreační a anihilační operátor.
Bilineární a kvadratické formy . Diagonalizace Hermitovské formy : a) doplněním na čtverec b) Jacobi Sylvesterův zápis ortogonalizačního procesu (zvl. pro positivně definitní formy) c) diagonalizace pomocí spektrálního rozkladu representujícího operátoru formy (dávající ortog. \"hlavní osy\" formy). Signatura formy a způsoby jejího zjištování .
Kvadriky (a kuželosečky), klasifikace a vlastnosti (omezenost, přímkové plochy, vlastnosti rovinných řezů). Zmínka o projektivním prostoru. Význam paraboloidů v analýze funkcí více proměnných (lokální extrémy, sedlové body funkcí).
Polární rozklad obecného operátoru na kompozici unitárního a Hermitovského operátoru (resp. unitárního, diagonálního, unitárního operátoru) .
Pseudoinverse obdélníkové matice.
Pojem tensorového součinu vektorových prostorů, isomorfismy mezi různými definicemi, jako je formální lineární obal kartézského součinu basí, množina multilineárních funkcionálů na součinu duálů, faktorprostor formálního lineárního obalu kartézského součinu prostorů . Rozložitelné tensory. Příklady tensorů: vektory, kovektory, bilineární formy, strukturní tensor algebry, determinant jako multilineární funkce sloupců, fyzikální příklady.
Složkový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.kový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.
Poslední úprava: T_KMA (22.05.2003)
1) Exponential of a matrix. Basic properties (similarity of matrices, eigenvectors, exponential of a sum). The relation Tr A = det exp A . Examples (Taylor polynomial, exponential of a commutator)
2) Elementary introduction to Lie algebras. Examples: gl, sl, o, u, su. Isomorphism of vector multiplication resp. commutation in o(3).
3) Nilpotent operators. Basic theorem on their structure and Jordan basis
4) Direct decomposition of a complex vector space according to its spectrum, Jordan theorem. Hamilton Cayley theorem. Exponential of a Jordan cell, applications to systems of linear differential equations with constant coefficients (and special choices of "external forces")
5) Positive and stochastic matrices, interpertation of their spectral radius, applications
6) Dual space, dual bases and operators
7) Duality and scalar product: Adjoint operator, normal operators. Adjoint differential operators and the method of per partes.
8) Spectral decomposition of a normal operator. Examples, Legendre and Hermite polynomials
9) Bilinear and quadratic forms, their diagonalization by a) change of cooordinates (method by "completing the squares") b) Jacobi Sylvester orthogonalization method c) diagonalization by spectral decomposition. Signature
10) Quadratic surfaces and conic sections, their classification (hyperboloids, elipsoids, paraboloids) and basic properties. Projective space.
11) Polar decomposition of an operator
12) Pseudoinverse of a matrix
13) Tensor product of linear spaces, definition, examples, "decomposable" tensors
14) Transformation rules for tensors, covariant and contravariant indices, summation convention
15) Tensor product of tensors, trace of a tensor. Tensors and scalar products, representation of covariant tensors by contravariant ones
16) Symmetric tensors, symmetrization of a (product of) tensor(s)
17) Antisymmetric tensors, antisymmetrization, exterior (Grassmann) algebra. The notion of a k-dimensional volume in n -dimensional vector space. Gramm matrix and the Gramm determinant (for general, non square matrix)
