Matematická analýza II - NOFY152

• Anglický název: Mathematical Analysis II
• Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: letní
• E-Kredity: 9
• Rozsah, examinace: letní s.:4/3, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc.; doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D.; doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D.
• Třída: Fyzika
• Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky
• Neslučitelnost : NMAF052
• Záměnnost : NMAF052
• Je neslučitelnost pro: NMAF052
• Je záměnnost pro: NMAF052
• Ve slož. prerekvizitě: NMAG204, NMAG211, NMAG212, NMMA201, NMMA202, NMMA203, NMMA204, NMMA205, NMMA301, NMNM201
• Ve slož. korekvizitě pro: NMSA211

Anotace

čeština

Druhá část základního kurzu matematické analýzy pro bakalářské studium fyziky. Navazuje na NOFY151.

Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

angličtina

Second part of the basic course of mathematics for the students of general physics (bachelor study). Follows the course NOFY151.

Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

Cíl předmětu

čeština

Druhá část základního kursu matematiky pro bakalářské studium fyziky. Navazuje na NOFY151.

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (08.02.2022)

angličtina

Second part of hte basic course of mathematics for the students of physics (bachelor study). Follows the course NOFY151.

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (08.02.2022)

Podmínky zakončení předmětu

Zápočet: bude udělen za úspěšné napsání zápočtových testů. Jednotné podrobnosti stanoví cvičící.

Získání zápočtu je podmínkou účasti na zkoušce.

Zkouška: sestává z početní (písemné) a teoretické (písemné) části. Podrobnosti viz web předmětu - https://www.karlin.mff.cuni.cz/~mbul8060/NOFY152.html

Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (11.02.2025)

Literatura

Černý, R., Pokorný, M.: Základy matematické analýzy pro studenty fyziky 2, MatfyzPress, 2021.

Kopáček J.: Matematika pro fyziky II., MATFYZPRESS, 2003

Kopáček J. a kol. : Příklady z matematiky pro fyziky II., MATFYZPRESS, 2003

Jarník J.: Diferenciální počet I, ACADEMIA 1984

Jarník J.: Diferenciální počet II, ACADEMIA 1984

Děmidovič V.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (08.02.2022)

Metody výuky

přednáška + cvičení

Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (20.05.2019)

Požadavky ke zkoušce

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení. Zkouška se skládá z početní (písemné) a teoretické (písemné) části. Podrobnosti viz web předmětu - https://www.karlin.mff.cuni.cz/~mbul8060/NOFY152.html

Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (11.02.2025)

Sylabus

čeština

1. Obyčejné diferenciální rovnice
ODR n-tého řadu, souvislost se systémem ODR 1. řádu, počáteční podmínky, věta o řešitelnosti a o jednoznačnosti řešení.

Lineární rovnice n-tého řádu, homogenní a nehomogenní rovnice, fundamentální systém. Metoda charakteristického polynomu, komplexní a reálný FS, případ vícenásobných kořenů, speciální pravá strana, obecná variace konstant. Bernoulliova rovnice. Wronskián. Speciální typy rovnic vyššího řádu. Eulerova rovnice.

2. Číselné a mocninné řady
Řady reálných a komplexních čísel: konvergence a divergence, aritmetika konvergentních řad. Řady s nezápornými členy a kritéria jejich konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence, kritéria neabsolutní konvergence, přerovnání a násobení řad, Cauchyův součin řad. Elementární poznatky z teorie mocninných řad: poloměr konvergence, kruh konvergence, kritická kružnice. Derivování a integrování mocninných řad. Taylorovy řady. Řešení ODR pomocí Taylorových řad.

3. Funkce více proměnných
Vzdálenost, metrika a metrický prostor. Norma a normovaný prostor. Otevřená množina, okolí, uzavřená množina, uzávěr, vnitřek, hranice. Konvergence, cauchyovskost, úplnost, kompaktnost, separabilita, Banachův a Hilbertův prostor. Kompaktní množiny v metrickém prostoru a v Rn. Limita a spojitost funkcí více proměnných, Heineho věta, spojitost a stejnoměrná spojitost, spojitý obraz kompaktu a důsledky. Kontraktivní zobrazení. Banachova věta o pevném bodu a její aplikace. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál. Diferenciální rovnice ve tvaru totálního diferenciálu, exaktní rovnice, integrační faktor. Složené derivování a záměna proměnných, věta o střední hodnotě pro víc proměnných. Taylorův vzorec a vyšší diferenciály. Extrémy funkcí více proměnných, implicitní funkce, vázané extrémy, Lagrangeovy multiplikátory. Věta o regulárním zobrazení.

4. Základy variačního počtu v jedné dimenzi (početní část bude procvičena a zkoušena až v zimním semestru 2025/26)
Funkcionál, Gateauxův diferenciál, variace. Euler-Lagrangeovy rovnice, klasická úloha variačního počtu, Lagrangián, kritický bod funkcionálu, extremála funkcionálu. Legendreova transformace. Hamiltonián, Hamiltonovy rovnice.

Poslední úprava: Bulíček Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (11.02.2025)

angličtina

1. Ordinary differential equations

Solution of an ODE; Cauchy problem for the ODE's; basic existence and uniqueness theorems; scalar equations of the first order - basic methods of finding solutions; linear equations of the nth order - fundamental system, variation of the constant, special right-hand side. Connection to the system of ODEs. Wronskian, Bernoulli and Euler equations.

2. Number series and power series

Convergent/oscilatory/divergent number series; convergence criteria for series with non-negative terms and general terms; absolute and relative convergence; product of series. Elementary power series, derivatives and primitives to series. Taylor series. Solution of ODEs by Taylor series.

3. Functions of more than one variable

Metric, norm, open and closed sets, closure, interior, boundary. Convergence, completeness, compactness, separability. Banach and Hilbert spaces. Continuity and uniform continuity, Heine theorem. Continuous functions on a compact set. Contractive mapping. Banach fixed point theorem. Theorem on the solvability of ODE. Limit and continuity. Partial and directional derivatives, total differential. Grad, div and curl. Exact differential equations, integration factor. Chain rule, change of variables. Mean value theorem, Taylor series. Local and global extrema, Lagrange multipliers. Implicit functions. Regular mapping.

4. Calculus of variations

Functional, Gateaux derivative, Frechet differential. Euler-Lagrange equations. Necessary and sufficient conditions for minima of functionals. Convexity. Legendre transform. Hamilton equations.

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (08.02.2022)

Vstupní požadavky

čeština

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné reálné proměnné na úrovni předmětu NOFY151.

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.06.2021)

angličtina

Differential and integrl claculus of functions of one real variable on the level of the subject NOFY151.

Poslední úprava: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.06.2021)