Pokročilé metody v matematické analýze - NMMO410

• Anglický název: Advanced Methods in Mathematical Analysis
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: Dr. rer. nat. Malte Laurens Kampschulte
• Vyučující: Pablo Alexei Gazca Orozco, Ph.D.; Dr. rer. nat. Malte Laurens Kampschulte
• Třída: M Mgr. MOD; M Mgr. MOD > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Matematika, Matematické modelování ve fyzice
• Neslučitelnost : NMMA401
• Je neslučitelnost pro: NMMA401

Anotace

čeština

Povinný kurz pro magisterské studijní programu Matematické modelování ve fyzice a technice, který lze nahradit kurzem Funkcionální analýza 1. Doporučen pro první ročník magisterského studia. Kurz se zaměřuje na pokročilá témata v teorii míry a funkcionální analýze.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

This is a mandatory course for the master’s study programmes Mathematical Modelling in Physics and Technology, which can be substituted by Functional Analysis 1. It is recommended for the first year of master’s studies. The course focuses on advanced topics in measure theory and functional analysis.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Kurz je zakončen zápočtem a závěrečnou zkouškou. Získání zápočtu je podmínkou pro

připuštění ke zkoušce. Zápočet bude udělen po úplném a správném vypracování zadaných

domácích úkolů. Podrobné požadavky budou zveřejněny na webových stránkách vyučujícího.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

The course is concluded with a credit and a final exam. Obtaining the credit is a prerequisite for

taking the exam. The credit will be granted upon the complete and correct solution of the

assigned homework. Detailed requirements will be provided on the lecturer’s webpage.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Literatura

čeština

W. Rudin: Functional analysis. Druhé vydání, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

M. Fabian a kol.: Banach Space Theory, Springer 2011

J. Diestel a J. J. Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monographs 15,

American Mathematical Society 1977

R. R. Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002

J. Lukeš a J. Malý: Míra a integrál. MatfyzPress, Univerzita Karlova, Praha, 1995.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

W. Rudin: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

M. Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011

J. Diestel and J. J. Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15,

American Mathematical Society 1977

R. R. Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002

J. Lukeš and J. Malý: Measure and integral. MatfyzPress, Charles University, Prague, 1995.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní, s možností písemné přípravy. Bude primárně ověřovat znalosti a pochopení

pojmů a vět probíraných během semestru. Dále bude zkouška obsahovat řešení vybraných úloh

za použití metod představených v kurzu. Hlavním zdrojem materiálů pro zkoušku jsou

přednášky.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

The exam is oral, with the option for written preparation. It will primarily test knowledge and

understanding of the concepts and theorems covered during the semester. Additionally, the

exam will include solving selected problems using the methods presented in the course. The

lectures serve as the main source of material for the exam.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Sylabus

čeština

1) Základy topologie: Základní pojmy včetně topologických prostorů, spojitosti, kompaktnosti.

2) Konvexní množiny a dualita: Konvexní množiny, konvexní obal a jeho vlastnosti, Legendreovy transformace, věty o konvexní minimalizaci.

3 Věty o pevném bodě: Základní principy a jejich aplikace v nelineární analýze.

4) Prostory s mírou a σ-algebry: Základy a základní pojmy teorie míry.

5) Klasické věty o aproximaci: Luzinova, Jegorovova a Kolmogorovova věta v teorii míry.

6) Radonovy míry: Definice, základní vlastnosti a charakterizace; dualita prostorů spojitých funkcí.

7) Radon-Nikodýmova vlastnost: Formulace, důkazy a aplikace.

8) Duální prostory L^p: Charakterizace a věty o reprezentaci.

9) Vektorová integrace: Úvod do Bochnerova integrálu a jeho klíčové vlastnosti.

10) Prostor L^p(X): Charakterizace duálních prostorů, slabě kompaktní množiny v L^1(X).

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

1) Elements of Topology: Basic concepts including topological spaces, continuity, compactness.

2) Convex Sets and duality: Convex sets, convex hull and its properties, Legendre transforms, convex minimisation theorems.

3) Fixed Point Theorems: Fundamental principles and their applications in nonlinear analysis.

4) Measure Spaces and σ-Algebras: Foundations and fundamental concepts of measure theory.

5) Classical Approximation Theorems: Lusin’s, Egorov’s, and Kolmogorov’s theorems in measure theory.

6) Radon Measures: Definition, essential properties, and characterization; duality of spaces of continuous functions.

7) Radon-Nikodym Property: Statement, proofs, and applications in analysis.

8) Dual Spaces of L^p: Structural analysis and representation theorems.

9) Vector Integration: Introduction to the Bochner integral and its key properties.

10) Space L^p(X): Characterization of the dual spaces, weakly compact sets in L^1(X)

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Vstupní požadavky

čeština

Základy Banachových a Hilbertových prostorů, včetně prvků Fredholmovy teorie, spektrální

teorie omezených operátorů a vlastností kompaktních a samoadjungovaných operátorů. Znalost

distribucí, Lebesgueova integrálu a míry, a Stokesovy věty.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

Fundamentals of Banach and Hilbert spaces, including elements of Fredholm theory, spectral

theory of bounded operators, and properties of compact and self-adjoint operators.

Understanding of distributions, the Lebesgue integral and measure, as well as the Stokes

theorem.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)