Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (07.01.2019)
Jedná se o základní přednášku z teorie parciálních diferenciálních rovnic, ve které se studenti seznámí s pojmem
slabého (distributivního) řešení, souvisejícími prostory funkcí a teorií pro lineární rovnice.
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (11.09.2013)
This is the basic course about the theory of partial differential equations. The notion of a weak (distributional) solution and the corresponding function spaces will be introduced and we establish the theory for (linear) elliptic equations.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
Předmět bude zakončen písemnou zkouškou, která prověří znalosti z látky probrané během semestru.
Ke zkoušce je nutný zápočet, který bude udělen za vypracování domácích úkolů.
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
At the end of the semester there will be a written exam. Students are supposed to provide the knowledge of the theory taught during the semester.
Students are obliged to solve homeworks correctly for passing the tutorials. It is also a necessary condition in order to pass the exam.
Literatura -
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (10.09.2013)
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010
D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (10.09.2013)
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010
D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
Dle sylabu
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
According to sylabus
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (04.10.2018)
Obecný pojem slabého řešení
Sobolevovy prostory: definice a přehled základních vlastností, věty o vnoření, věty o stopách
Slabá řešení lineární eliptické rovnice na omezené oblasti, různé okrajové podmínky, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci a pomocí Lax-Milgramovy lemmy, kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru, Fredholmova alternativa a její aplikace, princip maxima pro slabé řešení, $W^{2,2}$ regularita, vyšší regularita, symetrický operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu
Bochnerovy prostory: definice a přehled základních vlastností, vnoření, itegrace per partes
Slabá řešení pro lineární parabolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení.
Slabá řešení pro lineární hyperbolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost řešení, konečná rychlost šíření informace.
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (04.10.2018)
General notation of weak solutions
Sobolev spaces: definition and basic overview of its properties, embedding and trace theorems
Weak solutions to linear elliptic equations on bounded domains, various boundary conditions, solution by the use of the Riesz representation theorem and the use of the Lax-Milgram theorem, compactness of the solution operator, eigen-values and eigen-vectors of the solution operator, Fredholm-like theorems and their applications, maximum principle for weak solution, $W^{2,2}$ and higher regularity, symmetric operators and the equivalence with minimizing of a quadratic functional
Bochner spaces: defintion and basic overview of its properties, Gelfand triple, integration by parts formula, embeddding.
Weak solutions to linear parabolic equations, various boundary conditions, construction of a solution via Galerkin method, uniqueness and regularity of solution.
Weak solution to linear hyperbolic equation, various boudary codition, construction of a solution via Galerkin method, uniqueness of solution, finite speed of propagation.
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
Základy matematické analýzy, teorie míry a integrálu (Lebesgueův inteagrál a Lp prostory), klasické teorie PDR. Během semstru se předpokládá i znalost některých elementů z funkcionální analýzy (Rieszova věta o reprezentaci pro Hilbertovy prostory, spektrum kompaktního samoadjungovaného operátoru, slabá konvergence).
Poslední úprava: doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. (27.09.2020)
Basic knowledge of the mathematical analysis, measure theory (including the Lebesgue spaces) and the classical theory of PDEs is needed. Furthermore, starting from the middle of the semester also some basic facts from the functional analysis will be required (Riesz representation theorem for Hilbert spaces, spectrum of selfadjoint compact operators, weak convergence).
