Úvodní přednáška o parciálních diferenciálních rovnicích pro bakalářský obor Obecná matematika.
Doporučeno pro zaměření Matematická analýza a Matematické modelování a numerická analýza
Poslední úprava: G_M (16.05.2012)
An introductory course in partial differential equations for bachelor's program in General Mathematics.
Recommended for specializations Mathematical Analysis and Mathematical Modelling and Numerical Analysis.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (23.02.2021)
Zápočet bude udělen za úspěšné napsání písemného testu. Zápočtový test je možno dvakrát opakovat.
Získání zápočtu není nutné k účasti na zkoušce.
Zkoušky a zápočtové testy se mohou z části nebo zcela konat distanční formou.
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (18.02.2021)
Credit for the exercise is granted for passing a written test.
Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (27.09.2012)
Základní studijní literatura a studijní pomůcky
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 2010
K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005
J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004
A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2008.
Doporučená studijní literatura a studijní pomůcky
O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972
M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, l98l
S. J. Farlow: PDE for Scientists and Engineers, Dover, 1993
F. Sauvigny: Partial Differential Equations 1, Foundations and Integral Representations, Springer, 2006
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (31.10.2019)
Basic Literature
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 2010
K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005
J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004
A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2008.
Recommended Literature
O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972
M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, l98l
S. J. Farlow: PDE for Scientists and Engineers, Dover, 1993
F. Sauvigny: Partial Differential Equations 1, Foundations and Integral Representations, Springer,2006
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (18.02.2021)
Zkouška je ústní. Zkoušena bude teorie včetně důkazů v rozsahu vyložené látky.
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (18.02.2021)
The exam is oral and corresponds to the material treated during the lectures.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (30.04.2020)
Základní příklady PDR a jejich numerického řešení metodou konečných diferencí. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu, transportní rovnice, charakteristiky.
Von Neumannova analýza stability numerických schémat pro Cauchyovy úlohy, Numerické řešení transportní rovnice: CFL podmínka, upwinding, princip maxima, chyba diskretizace a chyba aproximace, disipace a disperze.
Reálné analytické funkce, věta Cauchyova-Kowalevské, charakteristické plochy, klasifikace semilineárních rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar.
Rovnice vedení tepla (fundamentální řešení, Cauchyova úloha, úloha na omezené oblasti), vlnová rovnice (fundamentální řešení, Cauchyova úloha, energetické metody).
Numerické řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla: schémata explicitní a implicitní, theta-schéma, Fourierova analýza chyby, princip maxima a konvergence.
Eliptické rovnice 2. řádu: fundamentální řešení Laplaceovy rovnice, věta o třech potenciálech, Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici, věty o střední hodnotě, principy maxima.
Numerické řešení eliptických rovnic 2. řádu: aproximace obecné rovnice difúze, odvození schémat v neregulárních uzlech, princip maxima a konvergence.
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (16.06.2015)
Basic examples of PDE's and their numerical solution by the finite difference method. Cauchy problem for a quasilinear PDE of the first order, transport equation, characteristics.
Von Neumann stability analysis of numerical schemes for Cauchy problems. Numerical solution of transport equation: CFL condition, upwinding, maximum principle, truncation error and approximation error, dissipation and dispersion.
Real analytic functions, Cauchy-Kowalevska Theorem, characteristic surfaces, classification of semilinear PDE's of the second order, transformation to canonical form.
Heat equation (fundamental solution, Cauchy problem, problem in bounded domain), wave equation (fundamental solution, Cauchy problem, energy methods).
Numerical solution of the mixed problem for heat equation: implicit and explicit schemes, theta-scheme, Fourier error analysis, maximum principle and convergence.
Relation between consistence, convergence and stability: general scheme for equations of the first order in time, Lax equivalence theorem.
Elliptic equations of the second order: fundamental solution of Laplace equation, Green's representation formula, Dirichlet problem for Laplace equation, mean value theorems, maximum principles.
Numerical solution of elliptic equations of the second order: approximation of general diffusion equation, derivation of schemes in irregular nodes, maximum principle and convergence.
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (15.05.2018)
Předpokládá se znalost matematické analýzy na úrovni povinných přednášek doporučených pro první dvouletí bakalářského studijního oboru Obecná matematika.
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. (15.05.2018)
Knowledge of mathematical analysis on the level of obligatory courses recommended for the first two years of the study branch General Mathematics is expected.
