V moderní harmonické analýze existuje řada otevřených problémů u kterých hraje klíčovou roli geometrie, kombinatorika a pravděpodobnost. V této přednášce se zaměříme na objasnění teorie potřebné k pochopení těchto problémů a přehled částečných výsledků. Budeme se zabývat množinami Kakeyova typu a směrovými maximálními operátory, Bochner-Rieszovými operátory, operátory restrikce a operátory s hrubým jádrem.

There is a handful of problems in modern harmonic analysis in which the key role is played by geometry, combinatorics and probability. In this course we focus on the theory required to understand these problems and on survey of partial results. We focus in particular on Kakeya sets, directional maximal operators, Bochner-Riesz operators, restriction operators and operators with rough kernels.

1) Opakování: L^p prostory, interpolace, Fourierova transformace,

singulární operátory

2) Kakeyova množina, Bezikovičova konstrukce, odhady dimenze

3) Maximální operátory a skoro všude konvergence

4) Bochner-Rieszovy operátory a maximální Bochner-Rieszovy operátory

5) Restrikce Fourierovy transformace a zakřivení

6) Operátory s hrubým jádrem

1) Review: L^p spaces, interpolation, Fourier transform,

singular operators

2) Kakeya set, Bezikovitch construction, estimates of the dimension

3) Maximal operators and almost everywhere convergence

4) Bochner-Riesz operators and maximal Bochner-Riesz operators

5) Fourier restriction and curvature

6) Operators with rough kernels