Popis reprezentací jednoduchých asociativních algeber, kombinatorické aspekty reprezentací symetrických grup, Schurova dualita mezi obecnou lineární grupou a symetrickou grupou. Dle zájmu posluchačů zaměření se na aplikace teorie v teorii emisních spekter symetrických molekul nebo na klasické symetrické prostory, reálné formy jednoduchých Lieových grup pomocí tzv. Satakeho diagramů.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (12.06.2011)
Description of representations of associative algebras, combinatorial aspects of representations of symmetric groups, Schur duality between general linear group and symmetric group. Applications, e.g., in the theory of emission spectra of symmetric molecules.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (28.02.2012)
Naučit základní kombinatorické přístupy ke konečně dimenzionálním reprezntacím klasických grup.
Poslední úprava: KRYSL/MFF.CUNI.CZ (04.05.2008)
Basics on a combinatorial approach to finite dimensional representations of the classical groups.
Literatura -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (28.02.2012)
R. Goodman, N. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, CUP, Cambridge, 2003.
A. Knapp, Lie groups beyond Introduction, Birkhaeuser-Verlag, Basel, 1998.
S. Sternberg, Group theory and physics, CUP, Cambridge, 1995.
H. Weyl, Gruppetheorie und Quantenmechanik, Verlag von S. Hirzel, Leipzig, 1928.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (28.02.2012)
R. Goodman, N. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, CUP, Cambridge, 2003.
A. Knapp, Lie groups beyond Introduction, Birkhaeuser - Verlag, Basel, 1998.
S. Sternberg, Group theory and physics, CUP, Cambridge, 1995.
H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Books on Mathematics, 1950.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (27.06.2014)
1. Reprezentace asociativních algeber
1.1. Burnsideova a Wedderburnova věta, strucne o (Hopfových) bialgebrách
1.3. Fourieova analýza na jednoduchých asociativních algebrách, spc. na grupové algebře konečné grupy
1.4. Věta o dvojitém komutantu
Appendix: "Základy teorie nejvyšší váhy pro unimodulární a obecnou lineární grupu"
Obsah: Cartanovy podgrupy, Cartanova podalgebra, váhy, nejvyšší váha, Cartanův součin
2. Reprezentace symetrických grup
2.1. Věta o dvojitém komutantu pro symetrické grupy
2.2. Schurova dualita
2.3. Kombinatorické prostředky: Youngovy tabulky a diagramy, Weylovy moduly, invariantní vektory, projektory na Weylovy moduly
3. Aplikace ve spektroskopii
3.1. Schurovy relace ortogonality (dukazy spočívající na Fourierově analýze, klasický důkaz první relace)
3.2. Homogenní vektorové bandly nad diskrétní konečnou množinou jako konfigurační prostory vibrací symetrických molekul
3.3. Frobeniův teorém o indukci, Murnaghan-Nakayamova pravidla (bez důkazu)
3.4. Emisní spektrum tetrachlormethanu, Ramanova spektroskopie pomocí reprezentací symetrických grup
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (28.02.2012)
Representations of associative algebras: Burnside and Wadderburn theorem, especially representations of simple associative algebras, Fourier analysis on simple associative algebras, especially on the group algebra of a finite group, double commutant theorem.
Representations of symmetric groups: double commutant theorem for symmetric groups, Schur duality, Young diagramm and Young tableaux, Weyl modules, invariant vectors of simple complex Lie alegbra representations, Cartan product of representations with a highest weight, Weyl module projectors. (Branching rules for classical linear algebraic groups.)
Applications to spectroscopy: Schur orthogonality relations (proofs based on Fourier analysis, classical proof of the first orthogonality relation), homogeneous vector bundles as configuration spaces of molecules, Frobenius theorem on induction, Murnaghan-Nakayama rules, selection rules, emission spectrum of tetrachlormathan., Raman spectroscopy from the point of view of representation theory of symmetric groups.
