Přístup komplexní analýzy k teorii reprezentací. Moduly s nejvyšší vahou.

Complex analysis approach to the representation theory. Modules with a highest weight.

J. Dixmier: Enveloping algebras, Akademie-Verlag, Berlin, 1977

A. Knapp: Lie groups, Lie algebras and Cohomology, Princeton University Press, 1988

R. Bailey, A. Knapp: Representation Theory and Automorphic Forms, AMS, 1997

J. Dixmier: Enveloping algebras, Akademie-Verlag, Berlin, 1977

A. Knapp: Lie groups, Lie algebras and Cohomology, Princeton University Press, 1988

R. Bailey, A. Knapp: Representation Theory and Automorphic Forms, AMS, 1997

Přednáška a cvičení.

Lecture and Excercises.

1. Univerzální obalující algebry Lieových algeber, Poincaré-Birkhof-Wittova věta.

2. Vermovy moduly a ireducibilní moduly s nejvyšší vahou.

2.1. Bruhatovo uspořádání na Weylově grupě.

2.2. Bernstein-Gelfanad-Gelfandova věta o homomorfizmech Verma modulů.

3. Věta Botta-Borela-Weila (její důkaz pro spc. případ nulté kohomologické grupy a obecné lineární grupy, unitární grupy a borelovské podgrupy jednoduché komplexní Lieovy grupy)

3.1. Formulace pro libovolnou parabolickou podgrupu a libovolný stupeň kohomologie.

3.2. Jednoduché aplikace:výpočet kohomologických okruhů vlajkových variet (s hodnotami ve svazcích zárodků

holomorfních sekcí asociovaných přímkových bandlů).

4. Kohomologie Lieových algeber

4.1. definice a souvislosti (jednoduchost, centrální rozšíření)

4.2. Kostantova verze Borel-Bott-Weilovy věty pro borelovský případ

4.3. Formulace pro parabolický případ.

4.4. Důsledky: Weylova formule pro charaktery a pro dimenzi.

Verma modules, highest weight modules, Bruhat ordering on the Weyl group, BernsteinGelfand-Gelfand theorem on homomorphisms of Verma modules. Bott-Borel-Weil theorem: its proof for zeroth order cohomology group, general linear group, unitary group and borel subgroups of a simple complex Lie groups; its formulation for an arbitrary parabolic subgroup and an arbitrary cohomology group order. Application: computation of a cohomology ring of flag manifolds with values in sheaves of germs of holomorphic sections of associated line bundles.

Lie algebra cohomologies, definitions and relations (simplicity, central extensions), Kostant´s version of BBW theorem for the Borel case, formulation for an arbitrary parabolic case. Applications: Weyl character and dimension formulas.