Last update: T_KDM (12.04.2016)
- Fourier series: Trigonometric polynomial, trigonometric series, uniform convergence of trigonometric series, Fourier coefficients. Orthonormal set in L^2, Bessel's inequality, Riesz-Fischer theorem, complete orthonormal set, Parseval's identity. Riemann-Lebesgue lemma. Pointwise convergence of Fourier series. Parseval's identity for trigonometric system, completeness of trigonometric system.
- Metric spaces, normed linear spaces: Metric, metric space, subspace, examples; norm, normed linear space, examples. Basic concepts in metric spaces: open and closed set; properties of the system of open and closed sets; topology, topological space; accumulation point, isolated point, closure, interior, diameter of a set.
- Continuous mappings, convergence: Continuous mapping at a point (metric spaces). Continuity and preimages of open set; convergent sequence in a metric space, uniqueness of a limit, characterization of continuity using sequences.
- Complete metric spaces: Cauchy sequence, complete space, examples. Subset of a complete space is complete if and only if it is closed. Cantor's intersection theorem. Contraction mapping, Banach fixed point theorem.
Last update: T_KDM (12.04.2016)
- Fourierovy řady: Trigonometrický polynom, trigonometrická řada, stejnoměrná konvergence trigonometrické řady, Fourierovy koeficienty. Ortonormální množina v L^2, Besselova nerovnost, Rieszova-Fischerova věta, úplná ortonormální množina, Parsevalova rovnost. Riemann-Lebesgueovo lemma. Bodová konvergence Fourierovy řady. Parsevalova rovnost pro trigonometrický systém, úplnost trigonometrického systému.
- Metrické prostory, normované lineární prostory: Metrika, metrický prostor, podprostor, příklady; norma, normovaný lineární prostor, příklady. Základní pojmy z metrických prostorů: otevřená a uzavřená množina; vlastnosti systému otevřených a systému uzavřených množin; topologie, topologický prostor; hromadný bod, izolovaný bod, uzávěr, vnitřek, průměr množiny.
- Spojitá zobrazení, konvergence: Spojité zobrazení v bodě (metrické prostory). Spojitost a vzory otevřených množin; konvergentní posloupnost v metrickém prostoru, jednoznačnost limity, charakterizace spojitosti pomocí posloupností.
- Úplné metrické prostory: Cauchyovská posloupnost, úplný prostor, příklady. Podmnožina úplného prostoru je úplný podprostor, právě když je uzavřená. Prostor je úplný, právě když každá nerostoucí posloupnost neprázdných uzavřených množin s průměry konvergujícími k nule má jednobodový průnik (Cantorova věta). Kontrahující zobrazení, Banachova věta o pevném bodě.
|