Uvod do matematiky sítí
| Název práce v češtině: | Uvod do matematiky sítí |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Introduction to the mathematics of networks |
| Klíčová slova: | Sítě|mřížky|náhodné procházky|teorie potenciálu |
| Klíčová slova anglicky: | networks|lattices|random walks|potential theory |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Sítí rozumíme konečnou množinu X, na které je zadán nějaký
(ohodnocený) graf. Na takovéto struktuře můžeme zkoumat náhodné šíření zpráv či třeba epidemie, můžeme chtít určit el. vodivost takové sítě (Kirchhoffovy zákony) a řešit mnohé další, přirozeně se nabízející otázky. Jednou z klíčových charakteristik sítí je např. chování náhodných procházek na nich. To souvisí s teorií potenciálu a s teorií pravdépodobnosti. Příklady sítí jsou z jedné strany pravidelné mřížky v dimenzi 2 a 3 a naopak tzv. Erdos Renyi sítě typu "zcela náhodného propojení jednotlivých účastníků". Při zkoumání vlastností sítí - a dění na nich -jde technicky o kombinaci metod lineární algebry, diskrétni matematiky, pravěpodobnosti i analýzy. Konkrétní téma bude upřesneno dle zájmu studenta. Od něhož je vyžadována určitá samostatnost a vítán zájem o případné aplikace |
| Seznam odborné literatury |
| Bude upřesněn po vzájemné domluvě. Jde hlavně o schopnost samostatně si promyslet
a osvojit, s potřebným návodem, zásadní fakta která nejsou nijak extremně složitá či abstraktní - ale předpokládají solidní porozumění a zažití různorodých aspektů základního kursu matematiky |
| Předběžná náplň práce |
| Sítě nejsou jen "náhražkou/diskretizací kontinua" pro případy, kdy analogický problém v
kontinuu je příliš technicky náročný. Sítě vztahů lidí, strojů atd. jsou čím dál populárnějším a důležitějším objektem matematického zkoumání |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| Networks (of people, machines, spins in physical systems etc.) appear in many applications. For
example, regular lattices often serve as a playground for solving problems which would be more difficult and technically complex in the continuum. An example is the interplay between potential theory and the theory of random walks. This is essentially linear algebra of quadratic forms of many variables (so called Feynman Kac "integrals") which gives understanding of the behaviour of random walks on regular lattices. Another, quite different and very popular example of network is the Erdos Renyi random graph |