Uvod do matematiky sítí
| Název práce v češtině: | Uvod do matematiky sítí |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Introduction to the mathematics of networks |
| Klíčová slova: | Sítě|mřížky|náhodné procházky|teorie potenciálu |
| Klíčová slova anglicky: | networks|lattices|random walks|potential theory |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Sítí rozumíme metrický prostor na konečné množině X, na které je zadán nějaký (ohodnocený) graf a metrika je dána nejkratší cestou mezi dvěma body. Na takovéto
struktuře můžeme zkoumat šíření epidemie, můžeme chtít určit el. vodivost té sítě (Kirchhoffovy zákony) a další přirozeně se nabízející otázky. Jednou z klíčových charakteristik sítí je chování náhodných procházek na nich. To souvisí s teorií potenciálu a s teorií pravdépodobnosti (Coulombův potenciál a ne/vratnost náhodné procházky na mříži). Příklady sítí jsou pravidelné mřížky v dimenzi 2 a 3 nebo naopak tzv. Erdos Renyi sítě typu "každý s každým". Technicky zde jde o kombinaci metod lineární algebry, diskrétni matematiky případně analýzy mocninných řad mnoha proměnných. Konkrétní téma bude upřesneno dle zájmu studenta. Od něhož je vyžadována určitá samostatnost a zájem i o případné aplikace pro zvolený typ sítě, jejíž základni vlastnosti budou v práci zkoumány |
| Seznam odborné literatury |
| Bude upřesněn po vzájemné domluvě. Jde ale hlavně o schopnost samostatně si promyslet a osvojit, s potřebným návodem, zásadní fakta. Která kromě solidního porozumění základnímu kursu matematiky nevyžadují velkou technickou rafinovanost či abstraktnost |
| Předběžná náplň práce |
| Sítě nejsou jen "náhražkou/diskretizací kontinua" pro případy, kdy problém v kontinuu je příliš technicky náročný.
Sítě vztahů lidí, strojů atd. jsou čím dál populárnějším a důležitějším objektem matematického zkoumání |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| Networks (of people, machines, spins in physical systems etc.) appear in many applications. For example, regular lattices often serve as a playground for solving problems
which would be difficult resp. technically complex in the continuum. An example is the interplay between potential theory and the theory of random walks. On networks, this is essentially linear algebra of quadratic forms (of many variables, so called Feynman Kac "integrals") which gives understanding of the behaviour (e.g. recurrence) of random walks on regular lattices. Another, very different example od network is the Erdos Renyi random graph popular e.g. in epidemiology |