Analytická a aritmetická integrabilita v Hamiltonově mechanice
| Název práce v češtině: | Analytická a aritmetická integrabilita v Hamiltonově mechanice |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Analytic and arithmetic integrability in Hamiltonian mechanics |
| Klíčová slova: | analytická a aritmetická integrabilita, Arnoldova-Liouvilleova věta, diferenciální Galoisova teorie, setrvačníky, hamiltonovská dynamika |
| Klíčová slova anglicky: | analytic and arithmetic integrability, Arnold-Liouville theorem, differential Galois theory, spinning tops, Hamiltonian dynamics |
| Akademický rok vypsání: | 2018/2019 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student nastuduje základy Hamiltonovy mechaniky modelované symplektickými varietami, Liouville-Arnoldovu větu a její důkaz. Naučí se definici a základy momentových zobrazení (není třeba matematicky precizně přesně větu Noetherové, byť je velmi hezká) a základy Galoisovy teorie se zaměřením na její diferenciální případ. Student se seznámí s pojmem momentového bandlu a jeho stability.
Úkolem je užít naučenou teorii pro výpočet integrálů pohybu a jejich číselných vlastností (otázky transcendence) nad zvolenými funkčními tělesy pro jednoduché mechanické systémy, jakými jsou např. systém n volných hmotných bodů, hmotného bodu v homogenním tíhovém poli a různých typů setrvačníků (volný, Lagrangeův, Helios-Henon, Kowalewské). Pokud bude čas, student se pokusí aplikovat teorii popsanou v prvním odstavci na setrvačníky v R4, tj. čtyřrozměrná tuhá tělesa pohybující se v prostoru s tíhovým polem. Práce je vhodná pro ty, kteří se chtějí připravit na studium v současnosti moderní a slibné teorii momentových bandlů a stability (a la Hitchin) avšak v konkrétních "běžných situacích", než se pustí do situací aktuálních, ale ne příliš představitelných, anebo i těm již se nebojí učit a stačí jim "kreativně" plnit byť obtížné, ale v principu zvládnutelné úkoly. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Arnold, V., Mathematical methods of Classical mechanics, Springer-Verlag.
[2] Thirring, W., Classical Dynamical Systems, Springer-Verlag, Vienna. [3] Marsden,J., Ratiu, T., Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag. [4] Audin, M., Spinning tops, Cambridge UP. [5] Odborné články o integrabilitě konkrétních mechanických systémů. |
| Předběžná náplň práce |
| X |