Integrabilita v Hamiltonově mechanice

• Název práce v češtině: Integrabilita v Hamiltonově mechanice
• Název v anglickém jazyce: Integrability in Hamiltonian machanics
• Klíčová slova: symplektická varieta, hamiltonovský systém, Liouvillova–Arnoldova věta, Keplerův problém
• Klíčová slova anglicky: symplectic manifold, hamiltonian system, Liouville–Arnold theorem, Kepler’s problem
• Akademický rok vypsání: 2018/2019
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 16.10.2018
• Datum zadání: 16.10.2018
• Datum potvrzení stud. oddělením: 01.11.2018
• Datum a čas obhajoby: 25.06.2019 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 15.05.2019
• Datum odevzdání tištěné podoby: 15.05.2019
• Datum proběhlé obhajoby: 25.06.2019
• Oponenti: doc. RNDr. Robert Švarc, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Řešitel se seznámí s geometrickou formulací Hamiltonových rovnic (systém obyčejných lineárních rovnic řádu 1) v rámci tzv. symplektických variet (obecný popis mechanických systémů).

Těžištěm práce bude pochopit a aplikovat tzv. Arnoldovu-Liovilleovu větu o integrabilitě na jednoduché mechanické systémy, jako např. pohyb v homogenním tíhovém poli, problém dvou těles v Newtonově teorii gravitace, setrvačník volný nebo setrvačník Lagrangeův, popř. nějaký méně známý systém z mechaniky. Eventuálně může také nastudovat a přehledně napsat její matematický důkaz.

V rámci časových možností se řešitel může seznámit a následně použít teorii momentových zobrazení (studium symetrií Hamiltonových systémů).

Seznam odborné literatury

[1]Arnold, V., Mathematical methods of Classical mechanics, Springer, New-York, 1989 (příp. ruská nebo německá verze).
[2]Thirring, W., A course in mathematical Physics: Classical Dynamical Systems, Springer, New-York-Vienna, 1978 (příp. německá verze).
[3]Marsden, J., Ratiu, T., Inrtroduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, New-York-Berlin, 1994.
[4]Brdička, M., Hladík, A., Teoretická mechanika, Praha, Academia, 1987.

Předběžná náplň práce

Pokud známe dostatečně mnoho symetrií systému, můžeme vyřešit příslušný systém ODR (Newtonův, Lagrangeův nebo Hamiltonův) i bez integrování těchto rovnic. Např. při výpočtu pohybu planet, v rámci newtonovské gravitace, se zachovává nejen energie (systém není disipativní) a moment hybnosti, ale i tzv. Ruenge-Lenzův vektor. V tomto případě lze jednoduše ("algebraicky") zjistit, že dráha se odvíjí po křivce splňující kvadratickou rovnici v prostorových proměnných, jejíž analýzou lze dovodit, že jde
o hyperbolu, přímku, elipsu či kružnici. Složitější systémy s "dostatečně" symetriemi jsou představovány např. Lagrangeovým setrvačníkem či setrvačníkem Kovalevské.