Analýza disipativních rovnic v neomezených oblastech
| Název práce v češtině: | Analýza disipativních rovnic v neomezených oblastech |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Analysis of dissipative equations in unbounded domains |
| Klíčová slova: | prostory s váhovou funkcí, lokálně uniformní prostory, semilineární vlnová rovnice s tlumením, lokálně kompaktní atraktor |
| Klíčová slova anglicky: | weighted spaces, locally uniform spaces, semilinear damped wave equation, locally compact attractor |
| Akademický rok vypsání: | 2011/2012 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 11.11.2011 |
| Datum zadání: | 11.11.2011 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 02.12.2011 |
| Datum a čas obhajoby: | 17.09.2013 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 02.08.2013 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 02.08.2013 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 17.09.2013 |
| Oponenti: | prof. RNDr. Eduard Feireisl, DrSc. |
| Zásady pro vypracování |
| Během posledních cca 10 let roste v komunitě parciálních diferenciálních rovnic (PDR) zájem o studium problémů, kde prostorová proměnná $x$ neznámé funkce $u=u(x,t)$ je prvkem neomezené oblasti. Analýza těchto problémů musí řešit určité technické problémy, související kupříkladu s tím, že operátory vnoření Sobolevových prostorů jsou v neomezených oblastech nekompaktní.
Jeden z přístupů se opírá o využití váhových funkcí typu $e^{-|x|}$, které umožňují analyzovat rovnice v jisté třídě lokálně integrovatelných funkcí, tzv. lokálně uniformních funkcí $L^p_b$. Cílem navrhované práce by bylo přehledně sepsat základní teorii, týkající se těchto prostorů a jejich vlastností (separabilita, reflexivita, charakterizace duálů, Sobolevovská vnoření, hustota hladkých funkcí). V rámci těchto prostorů by se pak analyzovaly základní typy nelineárních eliptických, parabolických či hyperbolických PDR. Jmenovitě půjde o témata existence, jednoznačnosti a regularity slabých řešení, existence spojitých reprezentantů, a v neposlední řadě také disipativity (tedy asymptotické omezenosti) řešení. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] S. Zelik: "Attractors of reaction diffusion systems in unbounded domains and their spatial complexity", Comm. Pure Appl. Math. 56 (2003), 584--637.
[2] S. Zelik: "The attractor for a nonlinear reaction-diffusion system in the unbounded domain and Kolmogorov's $\epsilon$-entropy", Math. Nachr. 232 (2001), 129--179. [3] M. Grasselli, D. Prazak, G. Schimperna: "Attractors for nonlinear reaction-diffusion systems in unbounded domains via the method of $\ell$-trajectories", J. Diff. Eq. 249 (2010), 2287--2315. [4] E. Feireisl: "Bounded, locally compact global attractors for semilinear damped wave equations on R^N", Diff. Int. Eq. 9/5 (1996), 1147--1156. [5] M. Bulicek, D. Prazak: "A note on the dimension of the global attractor for an abstract semilinear hyperbolic problem", Appl. Math. Lett. 22 (2009), 1025--1028. [6] L.C.Evans: "Partial differential equations", 2nd edition, AMS 2010. |