Energetická analýza procesu difúze v časově závislém parabolickém potenciálu.

• Název práce v češtině: Energetická analýza procesu difúze v časově závislém parabolickém potenciálu.
• Název v anglickém jazyce: Energetics of diffusion in time-dependent parabolic potential.
• Klíčová slova: Fokker-Planckova rovnice, Smoluchowského rovnice, Ohrnstein-Uhlenbeckův proces, stochastická termodynamika, Jarzynského identita, fluktuační teorémy
• Klíčová slova anglicky: Fokker-Planck equation, Smoluchowski equation, Ohrnstein-Uhlenbeck process, stochastic thermodynamics, Jarzynski identity, fluctuation theorems.
• Akademický rok vypsání: 2017/2018
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra makromolekulární fyziky (32-KMF)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 19.10.2017
• Datum zadání: 19.10.2017
• Datum potvrzení stud. oddělením: 23.10.2017
• Datum a čas obhajoby: 25.06.2019 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 20.05.2019
• Datum odevzdání tištěné podoby: 20.05.2019
• Datum proběhlé obhajoby: 25.06.2019
• Oponenti: RNDr. Karel Netočný, Ph.D.
• Konzultanti: RNDr. Artem Ryabov, Ph.D.

Zásady pro vypracování

V první části projektu se student seznámí se základy ``stochastické termodynamiky'' a s modelem přetlumené difúze v časově závislém parabolickém potenciálu.

Ve druhé části projektu bude student zkoumat chování hustot pravděpodobnosti konkrétních termodynamických veličin pro konkrétní protokoly, tj. pro konkrétní experimentálně relevantní časové závislosti potenciálu.
Z matematického hlediska půjde o studium jistého Markovova procesu a jeho funkcionálů. Vlastnosti těchto funkcionálů budou zkoumány analytickými metodami, numericky, nebo pomocí Monte Carlo simulací.

Z fyzikálního hlediska půjde o navržení a propočet energetiky cyklických protokolu a jejich optimalizaci z hlediska energetických transformací.

Širším cílem práce je aktivní osvojení tzv. termodynamiky malých systémů.

Seznam odborné literatury

1) Gillespie, D. T., Markov Processes: An Introduction for Physical Scientist, Gulf Professional Publishing, 1992
2) Risken, H., The Fokker-Planck equation: methods of solution and applications, Springer Verlag, 1985
3) Sekimoto, K., Stochastic Energetics, Springer, 2010
4) Van Kampen, N., Stochastic Processes in Physics and Chemistry, Elsevier Science, 2011
5) http://viktorholubec.xf.cz/Cz/fyzika/Texts/thesis.pdf

Předběžná náplň práce

Projekt má teoretický charakter. Zabývá se studiem dynamiky a energetiky v procesu přetlumené difúze částice v časově proměnném potenciálu. Konkrétně bude předpokládán následující scénář. Částice je pod vlivem termálních sil (Gaussovský bílý šum) a současně pod vlivem vnější síly. Ta je popsána parabolickým potenciálem, přitom parametr paraboly je jistou předem zadanou funkcí času. V důsledku časové závislosti potenciálu je na částici konána jistá práce.
Práce má však náhodný charakter, její hodnota je totiž funkcionálem trajektorie částice. Cílem práce je vypočítat hustotu pravděpodobnosti pro práci.

Konkrétně půjde o explicitní analytický výpočet hustoty pro práci v případě, kdy časový protokol změny potenciálu je tvořen po částech konstantní funkcí. Takovým průběhem lze totiž aproximovat libovolný spojitý protokol.
V uvedeném případě po částech konstantního protokolu bylo zjištěno, že Laplaceovu transformaci hustoty pravděpodobnosti pro práci lze získat ve tvaru konečného řetězového zlomku.

Jedním z cílů práce je odvodit konkrétní tvar řetězového zlomku pro experimentálně relevantní protokoly. Dále, prozkoumat cyklické protokoly, kdy ve stacionárním režimu lze model chápat jako tzv. molekulární motor.
Dalším cílem je propracovat model v případě nekonečného řetězového zlomku.

Širším cílem je seznámit se a aktivně zvládnout základy termodynamiky malých systémů, tj. energetickou analýzu procesů, které probíhají na mezoskopické úrovni. Z ryze matematického hlediska půjde o pokročilé partie teorie stochastických procesů.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The topic of the proposed project falls into the domain of stochastic nonequilibrium thermodynamics. The broader frame can be delineated as follows. Assume a single mesoscopic particle
moves in a thermal environment and experiences a time dependent external force. The particle position by itself is a stochastic process. Any single trajectory of the particle
implies a single value of the work done on the particle by the external agent which controls the force. Probability that the work falls into a
given infinitesimal interval equals to the probabilistic weight of all trajectories which yield the work in that interval. Considering the whole ensemble
of the trajectories in a specific time window, the work process appears as a functional of the position process. Now, an experimentally important macroscopic information, the Helmholtz free-energy
difference between two equilibrium configurations of a system, may be obtained by averaging the exponential of the work process over the ensemble of all trajectories.

In the project, the key goal is to calculate the exact probability density function for the work variable. to this aim, we consider a simple setting which, however, turns out to be rather
generic in several experimentally relevant situations. We assume the parabolic potential, where the time-dependent parameter of the parabola is prescribed by a fixed experimental protocole.
As for the position process by itself, the exact solution of the corresponding Fokker-Planck equation is known for an arbitrary form of the protocol. Briefly, the PDF for the position is a gaussian function
with time modulated width. As for the work probability density function, the general exact solution is not known. We propose to approximate the general protocol by a piece-wise constant one.
The project will be focused on the details of this approximation and its implementation in experimentally relevant scenarios.