velikost textu

Using algebra in geometry

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Using algebra in geometry
Název v češtině:
Využití algebry v geometrii
Typ:
Disertační práce
Autor:
RNDr. Pavel Paták
Školitel:
Mgr. Pavel Růžička, Ph.D.
Oponenti:
Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D.
Prof. Pavle Blagojevic
Id práce:
85690
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra algebry (32-KA)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Algebra, teorie čísel a matematická logika (4M1)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
3. 11. 2015
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
Homologická nevnořitelnost, věty Hellyho typu, Kühnelova domněnka o nevnořitelnosti do variet
Klíčová slova v angličtině:
Homological non-embeddability, Helly Type Theorems, Kühnel's conjecture of non-embeddability of skeleta of simplices into manifolds
Abstrakt:
Využití algebry v geometrii Pavel Paták Katedra: Katedra algebry Vedoucí disertační práce: Mgr. Pavel Růžička,Ph.D., Katedra algebry 1 Abstrakt V této práci jsme vyvinuli metodu, která kombinuje algebru, algebraickou topologii a kombinatoriku a vede k výsledkům o nevnořitelnosti. Klíčovou novinkou našeho přístupu je studium nevnořitelnostních argumentů z homologického úhlu pohledu. Sílu tohoto přístupu demonstrujeme dokázáním dvou nových zajímavých vět. Prvně ukážeme, že k-dimenzionální skeleton b 2k+2 + k + 3 -dimenzionálního simplexu nejde vno- k řit do variety M dimenze 2k s Bettiho číslem βk(M ; Z2) ≤ b. Jde o první konečný horní odhad pro Kühnelovu domněnku o nevnořitelnosti simplexů do variet. Poté dokážeme obecnou větu Hellyho typu pro množiny Rd: Existuje funkce h(b, d) taková, že v ˜ kdykoli máme konečný systém F množin v Rd takový, že βi ( G; Z2) ≤ b pro všechny G F a všechna 0 ≤ i ≤ d/2−1, pak Hellyho číslo systému F je nejvýše h(b, d). Pokud nás pouze zajímá, zda je Hellyho číslo omezené, tato věta shrnuje širokou třídu dřívějších vět Hellyho typu pro množiny v Rd. Klíčová slova: Homologická nevnořitelnost, věty Hellyho typu, Kühnelova domněnka
Abstract v angličtině:
Using algebra in geometry Pavel Paták Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Department of Algebra 1 Abstract In this thesis, we develop a technique that combines algebra, algebraic topology and combinatorial arguments and provides non-embeddability results. The novelty of our approach is to examine non- embeddability arguments from a homological point of view. We illustrate its strength by proving two interesting theorems. The first one states that k-dimensional skeleton of b 2k+2 + k + 3 -dimensional simplex does not k embed into any 2k-dimensional manifold M with Betti number βk(M ; Z2) ≤ b. It is the first finite upper bound for Kühnel’s conjecture of non-embeddability of simplices into manifolds. The second one is a very general topological Helly type theorem for sets in Rd: There exists a function ˜ h(b, d) such that the following holds. If F is a finite family of sets in Rd such that βi ( G; Z2) ≤ b for any G F and every 0 ≤ i ≤ d/2 − 1, then F has Helly number at most h(b, d). If we are only interested whether the Helly numbers are bounded or not, the theorem subsumes a broad class of Helly types theorems for sets in Rd. Keywords: Homological Non-embeddability, Helly Type Theorem, Kühnel’s conjecture of non-embeddability of ske- leta of simplices into manifolds
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce RNDr. Pavel Paták 1.05 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce RNDr. Pavel Paták 92 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky RNDr. Pavel Paták 93 kB
Stáhnout Posudek vedoucího Mgr. Pavel Růžička, Ph.D. 43 kB
Stáhnout Posudek oponenta Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. 60 kB
Stáhnout Posudek oponenta Prof. Pavle Blagojevic 84 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc. 39 kB