velikost textu

Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis
Název v češtině:
Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu
Typ:
Disertační práce
Autor:
RNDr. Petr Glivický, Ph.D.
Školitel:
doc. RNDr. Josef Mlček, CSc.
Oponenti:
prof. Petr Vopěnka, DrSc.
prof. RNDr. Pavol Zlatoš
Id práce:
76168
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra teoretické informatiky a matematické logiky (32-KTIML)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Algebra, teorie čísel a matematická logika (4M1)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
23. 9. 2013
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
lineární aritmetika, eliminace kvantifikátorů, Peanova aritmetika, extenze Presburgerovy aritmetiky, kvazieuklidovské okruhy
Klíčová slova v angličtině:
linear arithmetic, quantifier elimination, Peano arithmetic, extensions of Presburger arithmetic, quasi-Euclidean rings
Abstrakt:
Abstrakt disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO(E) = {d ∈ Bn; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o(d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich jednoduchých kompletních extenzí. Provedeme de- tailní analýzu definovatelných množin v modelu A lineární teorie a odvodíme, že každá defi- novatelná množina je sjednocením lineárních obrazů mnohostěnů v An pro nějaké n ∈ N. Zvláště důležitým příkladem lineární teorie je lineární aritmetika LA (přesněji její ,,Z-verze” ZLA) – aritmetická teorie s plnou indukcí rozšiřující Presburgerovu aritmetiku o násobení jediným nestandardním prvkem. Jako důsledek výše uvedeného dokážeme, že LA je modelově kompletní (eliminační množina je tvořena primitivně pozitivními formulemi) a rozhodnutelná, nalezneme její jednoduché kompletní extenze a sestrojíme jejich prvomodely. Dokážeme též, že modely LA jsou až na elementární ekvivalenci právě nehlavní ultraprodukty struktur N, 0, 1, +, ≤, n · s n ∈ N. Jako algebraickou aplikaci uvedených výsledků ukážeme, že prvomodely jednoduchých kompletních extenzí LA určují 2ω různých oborů integrity R s Z[x] ⊆ R ⊆ Q[x], které jsou ω-stage euklidovské, ale nejsou k-stage euklidovské pro žádné 0 < k ∈ N. To řeší problém položený G. E. Cookem v [Coo76]. Reference [Coo76] G. E. Cooke, A weakening of the Euclidean property for integral domains and ap- plications to algebraic number theory. I, Journal für die reine und angewandte Mathematik 282 (1976), 133–156.
Abstract v angličtině:
Abstract of doctoral thesis Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis Petr Glivický We are motivated by a problem of understanding relations between local and global properties of an operation o in a structure of the form B, o, with regard to an application for the study of models B, · of Peano arithmetic, where B is a model of Presburger arithmetic. We are particularly interested in a dependency problem, which we formulate as the problem of describing the dependency closure iclO(E) = {d ∈ Bn; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o(d))}, where B is a structure, O a set of n-ary operations on B, and E ⊆ Bn. We show, that this problem can be reduced to a definability question in certain expansion of B. In particular, if B is a saturated model of Presburger arithmetic, and O is the set of all (saturated) Peano products on B, we prove that, for a ∈ B, iclO({a} × B) is the smallest possible, i.e. it contains just those pairs (d0, d1) ∈ B2 for which at least one of di equals p(a), for some polynomial p ∈ Q[x]. We show that the presented problematics is closely connected to the descriptive analysis of linear theories. That are theories, models of which are – up to a change of the language – certain discretely ordered modules over specific discretely ordered integral domains. We prove a quantifier elimination result in linear theories, and we find the prime models of their simple complete extensions. We perform a detailed analysis of definable sets in a model A of a linear theory, and show that definable sets are unions of linear images of polyhedra in An, with n ∈ N. A particularly important example of linear theories is the linear arithmetic LA (more precisely, its “Z-like” variant ZLA). That is an arithmetical theory with the full induction, which extends Presburger arithmetic by multiplication by a single nonstandard element. As a corollary of the results above, we show that LA is model-complete (elimination set con- sists of primitive positive formulas) and decidable, we find its simple complete extensions and construct their prime models. We also prove that models of LA are, up to elementary equivalence, exactly all non-principal ultraproducts of the structures N, 0, 1, +, ≤, n · , with n ∈ N. As an algebraic application of the presented results, we show that the prime models of the simple complete extensions of LA determine 2ω different integral domains R, with Z[x] ⊆ R ⊆ Q[x], which are ω-stage Euclidean, but not k-stage Euclidean, for any 0 < k ∈ N. This solves the problem posed by G. E. Cooke in [Coo76]. Reference [Coo76] G. E. Cooke, A weakening of the Euclidean property for integral domains and ap- plications to algebraic number theory. I, Journal für die reine und angewandte Mathematik 282 (1976), 133–156.
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce RNDr. Petr Glivický, Ph.D. 861 kB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce RNDr. Petr Glivický, Ph.D. 41 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky RNDr. Petr Glivický, Ph.D. 40 kB
Stáhnout Posudek vedoucího doc. RNDr. Josef Mlček, CSc. 44 kB
Stáhnout Posudek oponenta prof. Petr Vopěnka, DrSc. 252 kB
Stáhnout Posudek oponenta prof. RNDr. Pavol Zlatoš 68 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby prof. RNDr. Jan Krajíček, DrSc. 63 kB