velikost textu

Sobolev-type Spaces on Metric Measure Spaces

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Sobolev-type Spaces on Metric Measure Spaces
Název v češtině:
Prostory Sobolevova typu na metrických prostorech s mírou
Typ:
Disertační práce
Autor:
RNDr. Lukáš Malý
Školitel:
prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc.
Oponenti:
prof. RNDr. Jan Malý, DrSc.
prof. Nages Shanmugalingam
Id práce:
60251
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Matematická analýza (4M3)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
18. 6. 2014
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
prostory Sobolevova typu, horní gradient, newtonovské prostory, metrické prostory s mírou, regularita
Klíčová slova v angličtině:
Sobolev-type spaces, upper gradient, Newtonian spaces, metric measure spaces, regularity
Abstrakt:
Název práce: Prostory Sobolevova typu na metrických prostorech s mírou Autor: RNDr. Lukáš Malý Katedra (ústav): Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Tato disertační práce se zaměřuje na prostory funkcí spojené s analýzou prvního řádu na abstraktních metrických prostorech s mírou. V metrických prosto- rech lze nahradit distributivní gradienty, jejichž denice závisí na lineární struktuře Rn, gradienty horními, které regulují chování funkcí podél všech rektikovatelných křivek. Pomocí nich se pak zavádí newtonovské prostory. Podmínka integrovatel- nosti, jež se v této práci uvažuje, je vyjádřena pomocí kvazinormy obecných Bana- chových svazů měřitelných funkcí, díky čemuž se vystaví rozsáhlý teoretický rámec. Prostory Sobolevova typu na metrických prostorech (postavené především na Lp normě), zvláště pak newtonovské prostory, byly podrobeny intenzivnímu studiu od poloviny . let . století. Vybudujeme standardní nástroje pro teorii v plné obecnosti a ukážeme, že new- tonovské prostory jsou úplné. Integrovatelnost horního gradientu zaručí, že funkce je absolutně spojitá podél skoro všech křivek. Dokážeme, že existuje jednoznačně určený minimální slabý horní gradient. Dále nahlédneme na regularizaci newto- novských funkcí pomocí lipschitzovských ořezů v prostorech s Poincaréovou ne- rovností a doubling mírou, přičemž prozkoumáme a využijeme slabou omezenost maximálních operátorů Hardyova–Littlewoodova typu. Regularita newtonovských funkcí bude též předmětem zájmu. Zvláštní zřetel bude kladen na kritický případ, kdy stupeň integrovatelnosti je v zásadě roven „dimenzi míry“. Klíčová slova: prostory Sobolevova typu, horní gradient, newtonovské prostory, metrické prostory s mírou, regularita
Abstract v angličtině:
Title: Sobolev-Type Spaces on Metric Measure Spaces Author: RNDr. Lukáš Malý Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: is thesis focuses on function spaces related to rst-order analysis in abstract metric measure spaces. In metric spaces, we can replace distributional gra- dients, whose denition depends on the linear structure of Rn, by upper gradients that control the functions’ behavior along all rectiable curves. is gives rise to the so-called Newtonian spaces. e summability condition, considered in the thesis, is expressed using a general Banach function lattice quasi-norm and so an extensive framework is built. Sobolev-type spaces (mainly based on the Lp norm) on metric spaces, and Newtonian spaces in particular, have been under intensive study since the mid-s. Standard toolbox for the theory is set up in this general setting and Newto- nian spaces are proven complete. Summability of an upper gradient of a function is shown to guarantee the functiońs absolute continuity on almost all curves. Ex- istence of a unique minimal weak upper gradient is established. Regularization of Newtonian functions via Lipschitz truncations is discussed in doubling Poincaré spaces using weak boundedness of maximal operators of Hardy–Littlewood type. Regularity of Newtonian functions is also looked into, with particular focus on the borderline case, when the summability degree is essentially equal to the “dimension of the measure”. Keywords: Sobolev-type spaces, upper gradient, Newtonian spaces, metric measure spaces, regularity
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce RNDr. Lukáš Malý 1.59 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce RNDr. Lukáš Malý 27 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky RNDr. Lukáš Malý 24 kB
Stáhnout Posudek vedoucího prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. 1.05 MB
Stáhnout Posudek oponenta prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. 86 kB
Stáhnout Posudek oponenta prof. Nages Shanmugalingam 2.24 MB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. 158 kB