text size

On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Title:
On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths
Title (in czech):
Vybrané geometrické vlastnosti trajektorií Brownova pohybu
Type:
Dissertation
Author:
RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D.
Supervisor:
prof. RNDr. Jan Rataj, CSc.
Opponents:
prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc.
doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D.
Thesis Id:
60117
Faculty:
Faculty of Mathematics and Physics (MFF)
Department:
Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK)
Study programm:
Mathematics (P1101)
Study branch:
Probability and Mathematical Statistics (4M4)
Degree granted:
Ph.D.
Defence date:
19/12/2012
Defence result:
Pass
Language:
English
Keywords (in czech):
Brownův pohyb, kuželové body, kritické body, povrch Wienerovy klobásy, Eulerova charakteristika Wienerovy klobásy v rovině.
Keywords:
Brownian motion, cone points, critical points, surface area of the Wiener sausage, Euler characterization of the Wiener sausage in a plane.
Abstract (in czech):
Název práce: Vybrané geometrické vlastnosti trajektorií Brownova pohybu Autor: Mgr. Ondřej Honzl Emailová adresa: honzl@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. Emailová adresa: rataj@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Matematický ústav UK Abstrakt: Práce se zaměřuje na studium geometrických vlastností Brownova pohybu. Nejprve pojednává o kuželových bodech Brownova pohybu v rovině a jejich sou- vislosti s kritickými body. Motivace studia kritických bodů je skryta v příjemných vlastnostech distanční funkce mimo tyto body. Je dokázána věta o neexistenci dvou π+ kuželových bodů na pevné přímce. Toto tvrzení nás vede k hypotéze, že kritických bodů Brownova pohybu v rovině je nejvýše spočetně. Dále se práce zabývá studiem asymptotických vlastností povrchu r-okolí Browno- va pohybu zvaného Wienerova klobása. Za užití vlastností Kneserovy funkce je dokázáno tvrzení o vztahu Minkowského objemu a S-objemu. Jako důsledek dostáváme limitní chování povrchu Wienerovy klobásy skoro jistě v dimensích d ≥ 3. Nakonec je studována asymptotika počtu souvislých komponent doplňku Wiener- ovy klobásy v rovině. Motivací se nám stala otázka z článku [?] týkající se střední hodnoty Eulerovy charakteristiky Wienerovy klobásy v rovině. Dokážeme větu o limitním chování počtu souvislých komponent doplňku Wienerovy klobásy v závislosti na jejím poloměru. Klíčová slova: Brownův pohyb, kuželové body, kritické body, povrch Wienerovy klobásy, Eu- lerova charakteristika Wienerovy klobásy v rovině. 1
Abstract:
Title: On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths Author: Mgr. Ondřej Honzl E-mail Address: honzl@karlin.mff.cuni.cz Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. E-mail Address: rataj@karlin.mff.cuni.cz Department: Mathematical Institute, Charles University Abstract: Our thesis is focused on certain geometric properties of Brownian motion paths. Firstly, it deals with cone points of Brownian motion in the plane and we show some connections between cone points and critical points of Brownian motion. The motivation of the study of critical points is provided by a pleasant behavior of the distance function outside of the set of these points. We prove the theorem on a non-existence of π+ cone points on fixed line. This statement leads us to the conjecture that there are only countably many critical points of the Brownian motion path in the plane. Next, the thesis discusses an asymptotic behavior of the surface area of r-neigh- bourhood of Brownian motion, which is called Wiener sausage. Using the proper- ties of a Kneser function, we prove the claim about the relation of the Minkowski content and S-content. As the consequence, we obtain a limit behavior of the surface area of the Wiener sausage almost surely in dimension d ≥ 3. Finally, we study the asymptotic number of the connected components of the complement of a Wiener sausage in a plane. We found the motivation for this investigation in the article [?] where the authors ask the question concerning the mean Euler characteristic of the Wiener sausage. We prove a theorem on the limit behavior of the number of the connected components of the complement of a Wiener sausage with dependance on its radius. Keywords: Brownian motion, cone points, critical points, surface area of the Wiener sausage, Euler characterization of the Wiener sausage in a plane. 1 Contents 1
Documents
Download Document Author Type File size
Download Text of the thesis RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 767 kB
Download Abstract in czech RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 15 kB
Download Abstract in english RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 16 kB
Download Supervisor's review prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. 43 kB
Download Opponent's review prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc. 37 kB
Download Opponent's review doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 34 kB
Download Defence's report 153 kB