velikost textu

On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths
Název v češtině:
Vybrané geometrické vlastnosti trajektorií Brownova pohybu
Typ:
Disertační práce
Autor:
RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D.
Školitel:
prof. RNDr. Jan Rataj, CSc.
Oponenti:
prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc.
doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D.
Id práce:
60117
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Matematický ústav UK (32-MUUK)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Pravděpodobnost a matematická statistika (4M4)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
19. 12. 2012
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
Brownův pohyb, kuželové body, kritické body, povrch Wienerovy klobásy, Eulerova charakteristika Wienerovy klobásy v rovině.
Klíčová slova v angličtině:
Brownian motion, cone points, critical points, surface area of the Wiener sausage, Euler characterization of the Wiener sausage in a plane.
Abstrakt:
Název práce: Vybrané geometrické vlastnosti trajektorií Brownova pohybu Autor: Mgr. Ondřej Honzl Emailová adresa: honzl@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. Emailová adresa: rataj@karlin.mff.cuni.cz Katedra: Matematický ústav UK Abstrakt: Práce se zaměřuje na studium geometrických vlastností Brownova pohybu. Nejprve pojednává o kuželových bodech Brownova pohybu v rovině a jejich sou- vislosti s kritickými body. Motivace studia kritických bodů je skryta v příjemných vlastnostech distanční funkce mimo tyto body. Je dokázána věta o neexistenci dvou π+ kuželových bodů na pevné přímce. Toto tvrzení nás vede k hypotéze, že kritických bodů Brownova pohybu v rovině je nejvýše spočetně. Dále se práce zabývá studiem asymptotických vlastností povrchu r-okolí Browno- va pohybu zvaného Wienerova klobása. Za užití vlastností Kneserovy funkce je dokázáno tvrzení o vztahu Minkowského objemu a S-objemu. Jako důsledek dostáváme limitní chování povrchu Wienerovy klobásy skoro jistě v dimensích d ≥ 3. Nakonec je studována asymptotika počtu souvislých komponent doplňku Wiener- ovy klobásy v rovině. Motivací se nám stala otázka z článku [?] týkající se střední hodnoty Eulerovy charakteristiky Wienerovy klobásy v rovině. Dokážeme větu o limitním chování počtu souvislých komponent doplňku Wienerovy klobásy v závislosti na jejím poloměru. Klíčová slova: Brownův pohyb, kuželové body, kritické body, povrch Wienerovy klobásy, Eu- lerova charakteristika Wienerovy klobásy v rovině. 1
Abstract v angličtině:
Title: On Selected Geometric Properties of Brownian Motion Paths Author: Mgr. Ondřej Honzl E-mail Address: honzl@karlin.mff.cuni.cz Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. E-mail Address: rataj@karlin.mff.cuni.cz Department: Mathematical Institute, Charles University Abstract: Our thesis is focused on certain geometric properties of Brownian motion paths. Firstly, it deals with cone points of Brownian motion in the plane and we show some connections between cone points and critical points of Brownian motion. The motivation of the study of critical points is provided by a pleasant behavior of the distance function outside of the set of these points. We prove the theorem on a non-existence of π+ cone points on fixed line. This statement leads us to the conjecture that there are only countably many critical points of the Brownian motion path in the plane. Next, the thesis discusses an asymptotic behavior of the surface area of r-neigh- bourhood of Brownian motion, which is called Wiener sausage. Using the proper- ties of a Kneser function, we prove the claim about the relation of the Minkowski content and S-content. As the consequence, we obtain a limit behavior of the surface area of the Wiener sausage almost surely in dimension d ≥ 3. Finally, we study the asymptotic number of the connected components of the complement of a Wiener sausage in a plane. We found the motivation for this investigation in the article [?] where the authors ask the question concerning the mean Euler characteristic of the Wiener sausage. We prove a theorem on the limit behavior of the number of the connected components of the complement of a Wiener sausage with dependance on its radius. Keywords: Brownian motion, cone points, critical points, surface area of the Wiener sausage, Euler characterization of the Wiener sausage in a plane. 1 Contents 1
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 767 kB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 15 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky RNDr. Ondřej Honzl, Ph.D. 16 kB
Stáhnout Posudek vedoucího prof. RNDr. Jan Rataj, CSc. 43 kB
Stáhnout Posudek oponenta prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc. 37 kB
Stáhnout Posudek oponenta doc. RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 34 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby 153 kB