velikost textu

Baire and Harmonic Functions

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Baire and Harmonic Functions
Název v češtině:
Baireovské a harmonické funkce
Typ:
Disertační práce
Autor:
Mgr. Petr Pošta
Školitel:
prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc.
Oponenti:
Allami Benyaiche
prof. RNDr. Ivan Netuka, DrSc.
Id práce:
57610
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Matematická analýza (4M3)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
14. 9. 2017
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
Funkce první Baierovy třídy, Harmonické funkce, Dirichletova úloha, Dirichletovo řešení, Lusinova--Menshovova vlastnost, Rozdíly polospojitých funkcí, Teorie kontinuí v obecné topologii
Klíčová slova v angličtině:
Baire--one functions, Harmonic functions, Dirichlet problem, Dirichlet solution, Lusin--Menshov property, Differences of semicontinuous functions, Continuum theory
Abstrakt:
Název práce: Baireovské a harmonické funkce Autor: Petr Pošta Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Tato práce se sestává ze šesti původních publikací. První čtyři se zabý- vají tématy spojenými s teorií potenciálu, funkcemi první Baierovy třídy a jejich podtřídami, zejména rozdíly polospojitých funkcí. První článek je věnován stabi- litě Dirichletovy úlohy, pro niž je dokázáno nové kritérium za pomoci Poissonovy rovnice. Ve druhé publikaci je ukázáno vylepšení nedávného výsledku z článku Lukeš a kol. (2003). Konkrétně je zde dokázáno, že zobecněné řešení klasické Dirichletovy úlohy náleží do podtřídy B1/2 funkcí první Baireovy třídy. Je také ukázáno zobecnění tohoto výsledku v abstraktním kontextu Choquetovy teorie funkčních prostorů. Konečně je zde diskutována abstraktní Dirichletova úloha pro nespojitou okrajovou podmínku náležející do třídy rozdílů polospojitých funkcí. Třetí článek se soustředí na Lusinovu–Menshovovu vlastnost a s ní související problém stejnoměrné aproximace jemně spojitých funkcí první Baireovy třídy rozdílem dvou jemně spojitých a zároveň polospojitých funkcí. Je zde uveden pře- hled topologií (od různých hustotních topologií po jemné topologie vyskytující se v lineární a nelineární teorii potenciálu), kde lze tuto techniku uplatnit, společně s několika novými důkazy. Ve čtvrté publikaci je ukázáno zobecnění Rosentha- lovy charakterizace rozdílu dvou omezených polospojitých funkcí z metrického na obecný Hausdorffův topologický prostor. Jako aplikace je zde podán alternativní důkaz, že třída rozdílů dvou (omezených i neomezených) polospojitých funkcí je tzv. perfektní třídou funkcí. V posledních dvou publikacích se věnujeme dvěma otevřeným problémům z teorie kontinuí v obecné topologii. V první z nich je ukázána kladná odpověď na problém J. J. Charatonika, W. J. Charatonika and J. R. Prajse, zda existuje řetězec dendritů, který nemá supremum v monotónním uspořádání. Ve druhé je ukázáno negativní řešení problému Y. Ohsudy, zda po- kud X je obloukově spojité kontinuum s volným obloukem a vlastností pevného bodu pro monotónní otevřená zobrazení, pak už je nutně X jednoduchá uzavřená křivka. Klíčová slova: Funkce první Baierovy třídy, Harmonické funkce, Dirichletova úlo- ha, Dirichletovo řešení, Lusinova–Menshovova vlastnost, Rozdíly polospojitých funkcí, Teorie kontinuí v obecné topologii 1
Abstract v angličtině:
Title: Baire and Harmonic Functions Author: Petr Pošta Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: The present thesis consists of six research papers. The first four articles deal with topics related to potential theory, Baire–one functions and its important subclasses, in particular differences of semicontinuous functions. The first paper is devoted to the stability of the Dirichlet problem for which a new criterion in terms of Poisson equation is provided. The second paper improves the recent result obtained by Lukeš et al. It shows that the classical Dirichlet solution belongs to the B1/2 subclass of Baire–one functions. A generalization of this result to the abstract context of the Choquet theory on functions spaces is provided. Finally, an abstract Dirichlet problem for the boundary condition belonging to the class of differences of semincontinuous functions is discussed. The third paper concentrates on the Lusin–Menshov property and the approximation of Baire– one and finely continuous functions by differences of semicontinuous and finely continuous functions. It provides an exposition of topologies (various density topologies as well as the fine topologies in both linear and non–linear potential theory) where this technique can be used together with several new proofs. In the fourth article, we provide a generalization of the characterization of differences of bounded semicontinuous functions by H. Rosenthal from metric to a general Hausdorff topological space. As an application, we provide a new proof that the classes of differences of both bounded and unbounded semicontinuous functions are perfect. The last two papers deal with two open problems from the general topology, continuum theory. First, we provide an affirmative answer to a problem of J. J. Charatonik, W. J. Charatonik and J. R. Prajs whether there is a chain of dendrites without monotone supremum. Second, we show a negative answer to a question of Y. Ohsuda whether if X is an arcwise connected continuum with a free arc and with the fixed set property for monotone onto maps then X is a simple closed curve. Keywords: Baire–one functions, Harmonic functions, Dirichlet problem, Dirich- let solution, Lusin–Menshov property, Differences of semicontinuous functions, Continuum theory 1
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce Mgr. Petr Pošta 1.15 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce Mgr. Petr Pošta 90 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky Mgr. Petr Pošta 79 kB
Stáhnout Posudek vedoucího prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc. 689 kB
Stáhnout Posudek oponenta Allami Benyaiche 1.14 MB
Stáhnout Posudek oponenta prof. RNDr. Ivan Netuka, DrSc. 55 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. 526 kB