text size

Collections of compact sets in descriptive set theory

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Title:
Collections of compact sets in descriptive set theory
Title (in czech):
Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii
Type:
Dissertation
Author:
RNDr. Václav Vlasák, Ph.D.
Supervisor:
doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
Opponents:
doc. RNDr. Petr Holický, CSc.
Doc. RNDr. Jaroslav Tišer, CSc.
Thesis Id:
44563
Faculty:
Faculty of Mathematics and Physics (MFF)
Department:
Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
Study programm:
Mathematics (P1101)
Study branch:
Mathematical Analysis (4M3)
Degree granted:
Ph.D.
Defence date:
29/09/2011
Defence result:
Pass
Language:
English
Keywords (in czech):
Deskriptivní teorie množin, kompaktní množina, spojitost, harmonická analýza, H^N-množiny, množiny jednoznačnosti.
Keywords:
Descriptive set theory, compact sets, continuity, harmonical analysis, H^N- sets, sets of uniqueness.
Abstract (in czech):
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f ) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f ) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 -determinovanosti ukážeme, že f 2 je borelovská právě tehdy když C(f ) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f ) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f )). Ukážeme, že systém C(f ) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr zvanému polára, který měří nulou každou množinu patřící do daného systému. Hlavní výsledek této kapitoly je zodpovědět negativně otázku položenou Lyonsem, zda poláry tříd HN -množin jsou stejné. Klíčová slova: Deskriptivní teorie množin, kompaktní množina, spojitost, har- monická analýza, HN -množiny, množiny jednoznačnosti.
Abstract:
1 Title: Collections of compact sets in descriptive set theory Author: Václav Vlasák Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Author’s e-mail address: vlasakmm@volny.cz Abstract: This work consists of three articles. In Chapter 2, we dissert on the connections between complexity of a function f from a Polish space X to a Polish space Y and complexity of the set C(f ) = {K ∈ K(X); f K is continuous}, where K(X) denotes the space of all compact subsets of X equipped with the Vietoris topology. We prove that if C(f ) is analytic, then f is Borel; and assuming ∆1 -Determinacy we show that f is Borel 2 if and only if C(f ) is coanalytic. Similar results for projective classes are also presented. In Chapter 3, we continue in our investigation of collection C(f ) and also study its restriction on convergent sequences (C(f )). We prove that C(f ) is Borel if and only if f is Borel. Similar results for projective classes are also presented. The Chapter 4 disserts on HN -sets, which form an important subclass of the class of sets of uniqueness for trigonometric series. We investigate the size of these classes which is reflected by the family of measures called polar which annihilate all the sets belonging to the given class. The main aim of this chapter is to answer in the negative the question stated by Lyons, whether the polars of the classes of HN -sets are same. Keywords: Descriptive set theory, compact sets, continuity, harmonical analy- sis, HN -sets, sets of uniqueness.
Documents
Download Document Author Type File size
Download Text of the thesis RNDr. Václav Vlasák, Ph.D. 496 kB
Download Abstract in czech RNDr. Václav Vlasák, Ph.D. 80 kB
Download Abstract in english RNDr. Václav Vlasák, Ph.D. 81 kB
Download Supervisor's review doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. 71 kB
Download Opponent's review doc. RNDr. Petr Holický, CSc. 85 kB
Download Opponent's review Doc. RNDr. Jaroslav Tišer, CSc. 67 kB
Download Defence's report prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc. 65 kB