velikost textu

Ultrafilters and independent systems

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Ultrafilters and independent systems
Název v češtině:
Ultrfiltry a nezávislé sytémy
Typ:
Disertační práce
Autor:
Mgr. Jonathan Verner, Ph.D.
Školitel:
prof. RNDr. Petr Simon, DrSc.
Oponenti:
RNDr. Jindřich Zapletal, DSc.
RNDr. Egbert Thümmel, Dr.
Konzultanti:
RNDr. Bohuslav Balcar, DrSc.
Prof. Michael Hrušák
Id práce:
44021
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra teoretické informatiky a matematické logiky (32-KTIML)
Program studia:
Matematika (P1101)
Obor studia:
Geometrie a topologie, globální analýza a obecné struktury (4M2)
Přidělovaný titul:
Ph.D.
Datum obhajoby:
5. 9. 2011
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
betaomega, irresolvabilní prostory, topologický typ, osamělý bod, silný P-bod, Canjarův ultrafiltr
Klíčová slova v angličtině:
betaomega, irresolvable spaces, topological type, lonely points, strong P-points, Canjar ultrafilters
Abstrakt:
Práce podává přehled různých konstrukcí ultrafiltrů. V první části uvádí konstrukce, které nepotřebují dodatečné axiomy teorie množin. Je předvedena metoda nezávislých systémů pocházející od K. Kunena. Dále je předvedeno její použití v topologickém zkoumání prostoru ω∗ (důkaz existence šestnácti topologických typů J. van Milla). Tato část je zakončena předvedením nové konstrukce a důkazem autorovy věty o existenci ultrafiltrů, které mají speciální topologické vlastnosti (důkaz existence 17 typu): V ω∗ existuje bod, který není hromadným bodem spočetné diskrétní množiny, je hromadným bodem spočetné množiny a spočetné množiny, v jejichž je hromadným bodem tvoří filtr. Druhá část se zabývá konstrukcemi ultrafiltrů vyžadujícími dodatečné množinové axiomy, resp. teorii forcingu. Je předvedena klasická konstrukce P-bodů, pocházející od J. Ketonena, a konstrukce Q-bodu, pocházející od A. R. D. Mathiase. Další dvě kapitoly se zabývají silnými P-body, které zavedl C. Laflamme. V první z těchto kapitol je dokázána nová charakter- izační věta (výsledek autora společně s A. Blassem a M. Hrušákem): Ultra- filtr je Canjarův právě když je silný P-bod. Je též uveden nový důkaz věty M. Canjara o existenci non-dominating filtrů (Canjarovy ultrafiltry), který využívá zmíněnou charakterizační větu a dále je dokázána charakterizační věta pro Canjarovy ultrafiltry M. Hrušáka a H. Minamiho. Druhá z těchto kapitol se zabývá generickými ultrafiltry na P(ω)/I, kde I je definovatelný ideál. Je ukázáno, jak lze tyto ideály charakterizovat pomocí vlastností jejich generických ultrafiltrů. Kapitola zároveň obsahuje odpověď na Laflammovu otázku o Canjarových ultrafiltrech (výsledek autora společně s A. Blassem a M. Hrušákem): Existence ultrafiltru který není silným P-bodem, je P-bodem a nemá rapid předchůdce v Rudin-Keislerově uspořádání je konzistentní s teorií množin.
Abstract v angličtině:
This work presents an overview of several different methods for construct- ing ultrafilters. The first part contains constructions not needing additional assumptions beyond the usual axioms of Set Theory. K. Kunen’s method using independent systems for constructing weak P-points is presented. This is followed by a presentation of its application in topology (the proof of the existence of sixteen topological types due to J. van Mill). Finally a new con- struction due to the author is presented together with a proof of his result, the existence of a seventeenth topological type: ω∗ contains a point which is discretely untouchable, is a limit point of a countable set and the countable sets having it as its limit point form a filter. The second part looks at constructions which use additional combina- torial axioms and/or forcing. J. Ketonen’s construction of a P-point and A. R. D. Mathias’s construction of a Q-point are presented in the first two sections. The next sections concentrate on strong P-points introduced by C. Laflamme. The first of these contains a proof of a new characterization theorem due jointly to the author, A. Blass and M. Hrušák: An ultrafilter is Canjar if and only if it is a strong P-point. A new proof of Canjar’s the- orem on the existence of non-dominating filters (Canjar filters) which uses the characterization is presented as is a new theorem characterizing Canjar filters (due to M. Hrušák and H. Minami). The second section investigates generic ultrafilters on P(ω)/I where I is a definable ideal on ω. It is shown how these ideals may be classified according to the properties of the generic ultrafilter. Several examples are presented including an example which an- swers a question of Laflamme about Canjar ultrafilters (due jointly to the author, A. Blass and M. Hrušák): It is consistent with ZFC that there is a P-point with no rapid Rudin-Keisler predecessors which is, nevertheless, not a strong P-point.
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce Mgr. Jonathan Verner, Ph.D. 2.45 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce Mgr. Jonathan Verner, Ph.D. 44 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky Mgr. Jonathan Verner, Ph.D. 44 kB
Stáhnout Posudek vedoucího prof. RNDr. Petr Simon, DrSc. 325 kB
Stáhnout Posudek oponenta RNDr. Jindřich Zapletal, DSc. 147 kB
Stáhnout Posudek oponenta RNDr. Egbert Thümmel, Dr. 553 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby 152 kB