velikost textu

Afinní zobrazení a transformace v rovině s řešenými příklady

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Afinní zobrazení a transformace v rovině s řešenými příklady
Název v angličtině:
Affine mappings and transformations in the plane with solved examples
Typ:
Bakalářská práce
Autor:
Lukáš Barborka
Vedoucí:
Mgr. Michal Zamboj
Oponent:
RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D.
Id práce:
208083
Fakulta:
Pedagogická fakulta (PedF)
Pracoviště:
Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
Program studia:
Specializace v pedagogice (B7507)
Obor studia:
Matematika se zaměřením na vzdělávání (B M)
Přidělovaný titul:
Bc.
Datum obhajoby:
15. 1. 2019
Výsledek obhajoby:
Dobře
Jazyk práce:
Čeština
Klíčová slova:
homomorfismus, afinní zobrazení, afinní transformace, samodružný bod, samodružný směr, vlastní číslo, vlastní vektor, homotetie, shodnost, podobnost
Klíčová slova v angličtině:
homomorphism, afinne mapping, afinne transformation, invariant point, invariant vector, eigenvalue, eigenvector, homothety, congruence, similarity
Abstrakt:
ABSTRAKT Analytická geometrie široce využívá aparát lineární algebry, je ostatně její přirozenou aplikací. Cílem této práce je propojení teoretických, pro mnohé studenty stále abstrakt- ních, základů lineární algebry právě s jejich praktickou aplikací v analytické geometrii, konkrétně v afinních transformacích a jejich užitím v řešených příkladech v rovině. Tato práce si klade za snahu dát do souvislosti pojmy známé z kurzu Lineární algebra (ho- momorfismy, vlastní čísla/vektory, ortogonální matice, matice přechodu...) s praktickým využitím v oblasti analytické geometrie, ať už formou důkazů důležitých vět, využívajících právě aparát lineární algebry a aritmetiky, nebo navazujících řešených příkladů. Cílem ře- šených příkladů je pak poskytnout jakýsi vhled či návod na řešení stejných či analogických úloh. Věty i příklady jsou v některých případech pro lepší názornost doplněny obrázky. Práce je pro větší přehlednost rozdělena do několika částí. V úvodu jsou zopakovány důležité pojmy lineární algebry jako je grupa, těleso, vektorový prostor, euklidovský vekto- rový prostor, lineární zobrazení (homomorfismus), matice přechodu od báze k bázi, vlastní číslo/vektor matice. Dále se přechází na afinní bodový prostor, afinní souřadnice bodu, transformační rovnice pro souřadnice bodů při přechodu k jiné soustavě souřadnic, afinní zobrazení a jeho analylitické vyjádření, skládání afinit apod. Poté jsou pojednány pojmy jako samodružné body a samodružné směry a vše je dáno do souvislosti s pojmy line- ární algebry, tj. vlastními čísly a vlastními směry. Pozornost je věnována také speciálním afinním zobrazením na eukleidovských prostorech - shodným zobrazením a jejich vlast- nostem, grupě shodnosti, podobným afinním zobrazením na eukleidovských prostorech a jejich vlastnostem, rozkladu podobnosti atd. Práce může sloužit studentům v oboru Matematika na PedF UK jako doplňující ma- teriál pro předmět Analytická geometrie II., ale i absolventům kurzu Lineární algebra, kterým může poskytnout nahlédnutí do souvislostí nabitých informací s praktickým uži- tím právě v analytické geometrii. Obrázky obsažené v této práci byly vytvořeny za použití programu Geogebra, text byl vysázen systémem L TEX. A KLÍČOVÁ SLOVA homomorfismus, afinní zobrazení, afinní transformace, samodružný bod, samodružný směr, vlastní číslo, vlastní vektor, homotetie, shodnost, podobnost
Abstract v angličtině:
ABSTRACT Analytical geometry widely uses the apparatus of linear algebra, it is, of course, its natural application. The aim of this thesis is the theoretical interconnection, for many students still abstract, bases of the linear algebra with their practical application in the analyti- cal geometry, especially in affine transformations and their use in the solved examples in the plane. This thesis is intended to put concepts known from the course of Linear algebra (homomorphism, eigenvalues/eigenvectors, orthogonal matrices, transition matri- ces...) into context with practical using in the analytical geometry, whether in the form of proofs of important theorems using the linear algebra and arithmetic apparatus, or the following solved examples. The aim of the examples is to provide some insight or guidance on the solution of the same or analogous tasks. The theory and examples are in some cases supplemented with illustrations for better clarity. The work is divided into several parts for greater clarity. The introduction is repeated important concepts of linear algebra such as group, field, vector space, Euclidean space, linear mapping (homomorphism), change of coordinates matrix, eigenvalue/eigenvector of the matrix. It also switches to affine point space, affine coordinate system, transformation equation for coordinates of point when changing coordinate frame, affine mapping and its analytical expression, composition of affinities etc. Concepts as invariant points and invariant vectors are then discussed, and everything is related to the linear algebra terms, ie eigenvalues and eigenvectors. Attention is also paid to the special one affine mappings on Euclidean spaces - congruency and their properties, its group, similarites and their properties, the decomposition of similarity etc. The thesis can be used as a complementary material for mathematics students at the PedF UK for the course Analytical Geometry II, but also for graduates of the course Linear Algebra, whom it can provide insight into the context of charged informations with practical application in analytical geometry. The images contained in this work were created using the Geogebra program, the text was typeseted with the L TEXsystem. A KEYWORDS homomorphism, afinne mapping, afinne transformation, invariant point, invariant vector, eigenvalue, eigenvector, homothety, congruence, similarity 1
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce Lukáš Barborka 3.91 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce Lukáš Barborka 28 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky Lukáš Barborka 25 kB
Stáhnout Posudek vedoucího Mgr. Michal Zamboj 88 kB
Stáhnout Posudek oponenta RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. 291 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby prof. RNDr. Jarmila Novotná, CSc. 152 kB