velikost textu

Structure and approximation of real planar algebraic curves

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Structure and approximation of real planar algebraic curves
Název v češtině:
Struktura a aproximace reálných rovinných algebraických křivek
Typ:
Rigorózní práce
Autor:
Mgr. Eva Blažková
Vedoucí:
doc. RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D.
Id práce:
203714
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Matematický ústav UK (32-MUUK)
Program studia:
Matematika (N1101)
Obor studia:
Matematické struktury (MSTR)
Přidělovaný titul:
RNDr.
Datum obhajoby:
25. 10. 2018
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
rovinná algebraická křivka, racionální parametrizace, opěrná funkce, topologie křivky, singulární bod, duální Hermitovská interpolace, racionální Puisovy řady, aproximace inflexe
Klíčová slova v angličtině:
planar algebraic curve, rational parametrization, support function, curve topology, singular point, dual Hermite interpolation, rational Puiseux series, inflection approximation
Abstrakt:
Abstrakt Běžným problémem výpočetní geometrie je hledání topologicky přesné aproximace algebraické křivky, které se většinou zakládá na nalezení sin- gulárních bodů křivky. Ty se hledají pomocí algebraických operací s rovnicí křivky. Náš přístup je geometričtější a bere v potaz i následnou přesnou aproximaci. Náš algoritmus hledá a aproximuje hladké monotónní oblouky křivky, které v některých případech mohou procházet i singularitami. Krajní body těchto oblouků počítáme nejen z rovnice křivky, ale i pomocí opěrné funkce. Jejich konektivita je pak určena pomocí lokálních vlastností křivky v daném bodě, které získáváme z racionálních Puiseových řad. Reprezentaci pomocí opěrné funkce využíváme i pro následnou interpo- laci oblouků. Ty dohoromady tvoří aproximaci celé křivky. Tato aproximace má mnoho praktických vlastností, například: Můžeme efektivně měřit její aktuální Hausdorffovu vzdálenost od křivky a díky tomu jednoduše zkon- struovat aproximaci mající omezenou chybu. Navíc je racionální a zajišťuje i racionalitu ofsetů. Nicméně se její topologie může lišit od topologie původní křivky. Zavádíme pojem tečných trojúhelníků, jejichž pomocí dokážeme najít a libovolně omezit rozdílné oblasti a případně pomocí osových projekcí a to- pologického stupně zajistit ekvivalenci topologií. Speciální pozornost je věnována studiu opěrné funkce v okolí inflexních bodů. Tato analýza nám umožňuje navrhnout změnu dělícího schématu ve- doucí k optimálnímu aproximačnímu stupni 4 jak v regulárních, tak v in- flexních bodech. V průběhu celé práce je efektivita teoretických výsledků demonstrována na příkladech.
Abstract v angličtině:
Abstract Finding a topologically accurate approximation of a real planar algebraic curve is a classic problem in Computer Aided Geometric Design. Algorithms describing the topology search primarily the singular points and are usually based on algebraic techniques applied directly to the curve equation. In this thesis we propose a more geometric approach, taking into account the subsequent high-precision approximation. Our algorithm is primarily based on the identification and approximation of smooth monotonous curve segments, which can in certain cases cross the singularities of the curve. To find the characteristic points we use not only the primary algebraic equation of the curve but also, and more importantly, its implicit support function representation. Using the rational Puiseux series, we describe local properties of curve branches at the points of interest and exploit them to find their connectivity. The support function representation is also used for an approximation of the segments. In this way, we obtain an approximate graph of the entire curve with several nice properties. It approximates the curve within a given Hausdorff distance. The actual error can be measured efficiently. The ap- proximate curve and its offsets are piecewise rational. And the question of topological equivalence of the approximate and precise graphs of the curve is addressed and resolved using tangent triangles and axis projections. Special attention was devoted to the study of the behavior of the support function in the neighborhood of a curve inflection. Based on these results, we are able to change the subdivision scheme near the inflections to obtain the optimal approximation order. The theoretical description of the entire procedure is accompanied by ex- amples which demonstrate the efficiency of our method.
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce Mgr. Eva Blažková 2.99 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce Mgr. Eva Blažková 27 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky Mgr. Eva Blažková 27 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. 42 kB