velikost textu

Complexity of compact metrizable spaces

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Complexity of compact metrizable spaces
Název v češtině:
Složitost kompaktních metrizovatelných prostorů
Typ:
Diplomová práce
Autor:
Bc. Jan Dudák
Vedoucí:
Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D.
Oponent:
doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
Id práce:
202164
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Program studia:
Matematika (N1101)
Obor studia:
Matematická analýza (MA)
Přidělovaný titul:
Mgr.
Datum obhajoby:
12. 9. 2019
Výsledek obhajoby:
Výborně
Jazyk práce:
Angličtina
Klíčová slova:
borelovská redukce, relace homeomorfismu, polský prostor, metrizovatelný kompaktní prostor, Peanovo kontinuum
Klíčová slova v angličtině:
Borel reduction, homeomorphism relation, Polish space, metrizable compact space, Peano continuum
Abstrakt:
Práce zkoumá složitost relace homeomorfismu na třídách metrizovatelných kompaktních prostorů a Peanových kontinuí s využitím techniky borelovských redukcí. Pro každou z těchto dvou tříd uvažujeme dvě různá kódování. Třídu metrizovatelných kompaktních prostorů lze přirozeně kódovat pomocí prostoru kompaktních podmnožin Hilbertovy krychle opatřeného Vietorisovou topologií. Alternativou je použití prostoru spojitých funkcí z Cantorova prostoru do Hil- bertovy krychle s topologií stejnoměrné konvergence a s relací ekvivalence, která ztotožňuje funkce mající homeomorfní obrazy. V případě Peanových kontinuí je situace podobná. Můžeme je kódovat pomocí prostoru Peanových podkontinuí Hilbertovy krychle, ale také (díky Hahnově-Mazurkiewiczově větě) pomocí pro- storu spojitých funkcí z r0, 1s do Hilbertovy krychle. V případě metrizovatelných kompaktů i v případě Peanových kontinuí ukážeme, že obě uvažovaná kódování dávají tutéž složitost (v obou případech se jedná o složitost univerzální orbitální ekvivalence). Mezi další výsledky této práce patří věta, která říká, že pro každý polský prostor X je relace homeomorfismu na prostoru neprázdných kompaktních podmnožin X borelovsky bireducibilní s relací ekvivalence (definované analogicky jako výše) na prostoru spojitých funkcí z Cantorova prostoru do X.
Abstract v angličtině:
We study the complexity of the homeomorphism relation on the classes of metrizable compacta and Peano continua using the notion of Borel reducibil- ity. For each of these two classes we consider two different codings. Metrizable compacta can be naturally coded by the space of compact subsets of the Hilbert cube with the Vietoris topology. Alternatively, we can use the space of continuous functions from the Cantor space to the Hilbert cube with the topology of uniform convergence, where two functions are considered as equivalent iff their images are homeomorphic. Similarly, Peano continua can be coded either by the space of Peano subcontinua of the Hilbert cube, or (due to the Hahn-Mazurkiewicz theo- rem) by the space of continuous functions from r0, 1s to the Hilbert cube. We show that for both classes the two codings have the same complexity (the complexity of the universal orbit equivalence relation). Among other results, we also prove that the homeomorphism relation on the space of nonempty compact subsets of any given Polish space is Borel bireducible with the above mentioned equivalence relation on the space of continuous functions from the Cantor space to the Polish space.
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce Bc. Jan Dudák 846 kB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce Bc. Jan Dudák 355 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky Bc. Jan Dudák 394 kB
Stáhnout Posudek vedoucího Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. 376 kB
Stáhnout Posudek oponenta doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. 96 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. 153 kB