velikost textu

Výpočtové problémy elementární teorie čísel

Upozornění: Informace získané z popisných dat či souborů uložených v Repozitáři závěrečných prací nemohou být použity k výdělečným účelům nebo vydávány za studijní, vědeckou nebo jinou tvůrčí činnost jiné osoby než autora.
Název:
Výpočtové problémy elementární teorie čísel
Název v angličtině:
Computational problems of elementary number theory
Typ:
Rigorózní práce
Autor:
RNDr. Jiří Widž
Vedoucí:
Prof. RNDr Štefan Porubský, DrSc.
Oponenti:
RNDr. Jakub Staněk, Ph.D.
doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc.
Id práce:
134593
Fakulta:
Matematicko-fyzikální fakulta (MFF)
Pracoviště:
Katedra didaktiky matematiky (32-KDM)
Program studia:
Matematika (M1101)
Obor studia:
učitelství matematiky v komb. s deskript. geometrií pro SŠ (MDU)
Přidělovaný titul:
RNDr.
Datum obhajoby:
11. 6. 2013
Výsledek obhajoby:
Prospěl/a
Jazyk práce:
Čeština
Klíčová slova:
obecný řetězový zlomek, jednoduchý řetězový zlomek, Euklidův algoritmus, euklidovské okruhy, konvergence řetězových zlomků, aplikace řetězových zlomků
Klíčová slova v angličtině:
general continued fraction, simple continued fraction, Euclid's algorithm, Euclidean rings, convergence of continued fractions, application of continued fractions
Abstrakt:
Název práce: Výpočtové problémy elementární teorie čísel Autor: Mgr. Jiří Widž Katedra: Katedra didaktiky matematiky MFF UK Vedoucí rigorózní práce: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v. v. i. Abstrakt: Ústředním pojmem předložené práce je pojem řetězových zlomků. V práci jsou podány historické souvislosti vzniku tohoto pojmu jako jednoho z nejstarších matematických prostředků. Technika řetězových zlomků patří do klasických partií matematiky a jejich obecná teorie je značně vrstevnatá a v učebnicích vyložená v závislosti od předpokládaného záměru použití. V předložené práci shrneme základy obecné teorie konvergence řetězových zlomků s důrazem na teorii jednoduchých řetězových zlomků a jejich nejčastější aplikace. Poukážeme na možnosti rozšíření pojmu řetězového zlomku na další struktury jako jsou např. Gaussova celá čísla nebo polynomiální řetězové zlomky. V části o maticových řetězových zlomcích ukážeme i na možnosti jeho rozšíření na nekomutativní algebraické struktury. V práci uvedeme použití aparátu řetězových zlomků na řešení diofantických a algebraických rovnic, na krácení zlomků, faktorizaci celých čísel, určení typu kalendáře i jako na prostředek jednoduchého útoku na kryptologický RSA systém, atd. Výklad provázíme konkrétními příklady. Poslední část předložené práce obsahuje ukázky textů spojených s využitím pojmu řetězového zlomku v českých středoškolských učebnicích matematiky v minulosti. Klíčová slova: obecný řetězový zlomek, jednoduchý řetězový zlomek, Euklidův algoritmus, euklidovské okruhy, konvergence řetězových zlomků, aplikace řetězových zlomků
Abstract v angličtině:
Title: Computational problems of elementary number theory Author: Mgr. Jiří Widž Department: Department of Mathematics Education Supervisor: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Institute of Computer Science of the Academy of Sciences of the Czech Republic Abstract: The central notion of this presented thesis is the concept of continued fractions. The origin of this concept as one of the oldest mathematical methods is shown here in its historical connections. The technique of continued fractions belongs to classical parts of mathematics. Although the general theory of continued fractions is manifold and layered considerably, in textbooks it is usually treated according to the intended purpose of its use. In the present text we have summarized the foundations of the general theory of convergence of continued fractions with an emphasis on the theory of simple continued fractions and their most common applications. We show several possibilities how the concept of continued fractions can be generalized to other structures such as the Gaussian integers or polynomial continued fractions. In the chapter devoted to matrix continued fractions we shall demonstrate the possibility how to extend it to non-commutative algebraic structures. We also show how the apparatus of continued fractions can be used to solve Diophantine or algebraic equations, to reduce fractions, factorize integers, specify the type of calendar, as well as a simple tool to attack the RSA cryptographic system, etc. Worked examples accompany the exposition. The last part of the thesis contains examples of texts demonstrating the use of the concept of continued fractions in Czech secondary school mathematics textbooks in the past. Keywords: general continued fraction, simple continued fraction, Euclid's algorithm, Euclidean rings, convergence of continued fractions, application of continued fractions
Dokumenty
Stáhnout Dokument Autor Typ Velikost
Stáhnout Text práce RNDr. Jiří Widž 1.48 MB
Stáhnout Abstrakt v českém jazyce RNDr. Jiří Widž 201 kB
Stáhnout Abstrakt anglicky RNDr. Jiří Widž 197 kB
Stáhnout Posudek oponenta RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. 45 kB
Stáhnout Posudek oponenta doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc. 167 kB
Stáhnout Záznam o průběhu obhajoby doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. 36 kB