Nelineární funkcionální analýza 1 - NMMA501

• Anglický název: Nonlinear Functional Analysis 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: Dr. rer. nat. Malte Laurens Kampschulte
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (09.06.2021)

Povinně volitelný předmět magisterského programu Matematická analýza.  Stručný obsah: diferenciální počet v Banachových prostorech, věta o implicitní funkci, variační počet.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (09.06.2021)

Recommended for master students of mathematical analysis. Content: differential calculus in Banach spaces, implicit function theorem, calculus of variations.

Literatura

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

P. Drábek, J. Milota: Methods of nonlinear analysis. Applications to differential equations. Birkhäuser Verlag, Basel, 2007.

B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations. Springer, New York, 2008

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KMA (19.09.2013)

1. Diferenciální počet v Banachových prostorech

Derivace ve směru, diferenciál, věty o střední hodnotě, chain rule, "parciální diferenciály",Taylorova formule

2. Věta o inverzním zobrazení, implicitní funkce

3. Extrémy a vázané extrémy

lokální extrémy, Fermatova podmínka, Euler-Lagrangeova rovnice, Lagrangeovy nutné a postačující podmínky pro lokální extrém, vázané lokální extrémy, věta o Lagrangeových multiplikátorech

4. Aplikace na Němyckého operátory a integrální funkcionály

Carathéodoryovské funkce, měřitelnost složené funkce, spojitost a omezenost Němyckého operátorù z $L^p$ do$L^q$)

5. Přímé metody variačního počtu

konvexita a slabá polospojitost zdola, základní věta variačního počtu

6. Protipříklady na existenci minimizéru

7. Klasické úlohy variačního počtu

(informativně)

8. Stupeň zobrazení

jednoznačnost a existence stupně v konečné dimenzi (Sardova věta)

Brouwerova věta, Borsukova věta

9. Leray-Schauderův stupeň

definice,Schauderova věta o pevném bodu, Leray-Schauderův index isolovaného řešení

10. Monotonní operátory v Hilbertově prostoru

spojité, monotonní a slabě koercivní operátory, monotonní operátory v reflexivním prostoru (informativně)

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (09.06.2015)

1. differential calculus in Banach spaces

directional derivative, differential, mean value theorems, chain rule, Taylor formula

2. Inverse mapping theorem, Implicit function theorem

3. Extrema

local extrema, Fermat's condition, Euler-Lagrange equation, Lagrange sufficient and necessary conditions for local extrema, Lagrange multiplier theorem

4. Application on Nemitskii operator and integral functionals

Caratheodory function, measurability of composed function, continuity and boundedness of Nemitskii operator from $L^p$ to $L^q$

5. Direct methods in the Calculus of Variations

convexity and weak lower semicontinuity, basic theorem of Calculus of Variations

6. Counterexamples to the existence of a minimizer

7. Classical problems of the Calculus of Variations (briefly)

8. Degree of a mapping

uniqueness and existence of the degree in finite dimension, Sard's theorem,

Brouwer theorem, Borsuk theorem

9. Leray-Schauder degree

definition, Schauder fixed point theorem, Leray-Schauder index of an isolated solution

10. Monotone operators in Hilbert space

continuous, monotone and weakly coercive operators, monotone operators in reflexive spaces (briefly)

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (02.05.2018)

Základy lineární funkcionální analýzy, základy teorie míry a integrálu, prostory funkcí

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (02.05.2018)

Elements of linear functional analysis, elements of measure theory, theory of Lebesgue integral, function spaces.