Riemannova geometrie 1 - NMAG411

• Anglický název: Riemannian Geometry 1
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2021
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://sites.google.com/site/ragolovko/teaching
• Garant: Roman Golovko, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie
• Je prerekvizitou pro: NMAG566

Anotace

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Oldřich Kowalski, DrSc. (10.09.2013)

Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou ze základních technik matematické fyziky, totiž se základy pseudo-Riemannovy geometrie..

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Oldřich Kowalski, DrSc. (10.09.2013)

The goal of this lecture is to acquaint the students with one of the basic techniques of the Mathematical Physics, namely pseudo-Riemannian geometry.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou se základních struktur diferenciální geometrie, a sice hladkou varietou s Riemannovým metrickým tenzorem a jeho konexí.

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

The goal of the lecture is to acquaint students with one of the basic structures of differential geometry, namely with a smooth manifold equipped with a Riemannian metric tensor and its connection.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (13.09.2021)

Bude zadáno několik domácích úkolů. Podmínkou k zápočtu je odevzdání alespoň jednoho správného řešení.

Zkouška má ústní formu.

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (13.09.2021)

There will be several homeworks. As a requirement to take the final exam students must submit

solutions to at least one homework. The final exam will be an oral exam.

Literatura

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

1) O. Kowalski, Základy Riemannovy geometrie, skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.

2) P. do Carmo, Riemannian Geometry 1, Birkhaeuser.

3) M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1 - 2., Publish or Perish Inc..

4) P. Petersen, Riemannian Geometry, Springer, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 171, 2nd Edition, 2006.

5) W. Curtis, F. Miller, Differential Manifolds & Theoretical Physics, Pure and Applied Math.

6) S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential geometry I, II, Interscience Publishers 1963, 1969.

7) S. Helgason, Differencial´naja geometrija i simmetričeskije prostranstva (překlad z angličtiny), Izd. MIR, Moskva 1964 (Kapitola 1).

8) S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Academic press, 1978.

9) R. L. Bishop, R. J. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS Chelsea Publishing, 2001.

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Metodou výuky jsou standardní přednáška a cvičení. Studium může být i individuální.

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

The method of teaching is the standard lecture and exercise sessions. The individual study is also possible.

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

K ústní části zkoušky je nutné znát celou odpřednášenou látku.

Zkouší se definice, věty a jejich důkazy. Pro prověření porozumění obsahu přednášky

budete rovněž vyzváni k důkazu snadného tvrzení (písemná příprava).

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

For the oral part of the exam it is necessary to know the whole content of lecture.

You will get time to write a preparation for the oral part which the knowledge of definitions, theorems and their proofs is tested.

We test as well the understanding to the lecture, you will have to prove an easy theorem which follows from statements from the lecture.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Oldřich Kowalski, DrSc. (10.09.2013)

Základní pojmy z množinové topologie. Topologické a diferencovatelné variety, zobrazení variet. Podvariety v euklidovském prostoru. Tečné prostory, tečné zobrazení, vektorová pole, Lieova závorka vektorových polí. Afinní konexe na varietě jako operace derivování na vektorových polích. Levi-Civitova konexe na podvarietě v . Paralelní přenos podél křivek a geodetické křivky -- definice a existenční věty. Exponenciální zobrazení v bodě. Tenzorová pole torze a křivosti afinní konexe, jejich geometrický význam. Riemannova (pseudo-Riemannova) metrika, indukovaná struktura metrického prostoru. Riemannova konexe -- existence a jednoznačnost, souvislost s~Levi-Civitovou konexí (na podvarietě v s indukovanou metrikou). Gaussova formule a její geometrická interpretace pro plochy -- Gaussova věta. Gaussova křivost plochy. Sekcionální křivost Riemannovy variety, prostory s konstantní křivostí. Extremální vlastnosti geodetik. Globální vlastnosti geodetik na úplné Riemannově varietě.

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Basic notions from general topology. Topological and differentiable manifolds, maps between manifolds. Submanifolds in the Euclidean space. Tangent spaces, tangent maps, vector fields, Lie bracket of vector fields. Affine connection on a manifold as differentiation of vector fields. The Levi-Civita connection on a manifold in R^n. The parallel transport along curves, geodesic curves - definitions and existence theorems. Exponential map at a point. The torsion tensor field and the curvature tensor field, its geometric meaning. Riemannian (pseudo-Riemannian) metric, the induced structure of a metric space. The Riemannian connection - existence and uniqueness, relationship with the Levi-Civita connection (on a submanifold with induced metric). The Gaussian formula and its geometric interpretation for surfaces - Gauss theorem. The Gauss curvature of a surface. The sectional curvature of a Riemannian manifold, spaces with constant curvature. Extremal properties of geodesics. Global properties of geodesics on a complete Riemannian manifold.

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Znalost základů topologie (definice topologie, jemnější, hrubší topologie, pojem spojitého zobrazení a homeomorfizmu) a diferenciálního počtu více proměnných na R^n.

angličtina

Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Basics of topology (finer, coarser, induced topology) and of calculus of functions of several variables.