Pokročilá témata z lineární a nelineární algebry pro fyziky. Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro
fyziky.
Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)
Advanced topics of linear algebra for physicists.. A complement to the basic course of mathematics for physicists.
Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru, skriptum MFF UK
K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, skriptum MFF UK
J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Praha 2007
R.P. Feynman: Statistical Mechanics, A Set of Lectures., Addison-Wesley Publishing Company, 1972.
F.R. Gantmacher: The theory of matrices, 1999.
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
M.L. Mehta: Random matrices, 2004.
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru, skriptum MFF UK
K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, skriptum MFF UK
J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Praha 2007
R.P. Feynman: Statistical Mechanics, A Set of Lectures., Addison-Wesley Publishing Company, 1972.
F.R. Gantmacher: The theory of matrices, 1999.
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
M.L. Mehta: Random matrices, 2004.
Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc. (13.10.2017)
Zkouška bude ústní, po předběžné domluvě studenta s přednášejícím půjde o rozvinutí některého z témat na přednášce probraných
Sylabus -
Poslední úprava: T_KMA (22.05.2008)
Teorie determinantů a kombinatorika.Stromy, Kirchhoffova věta.
Pravděpodobnost a teorie stochastických matic,elementy teorie Markovských řetězců z hlediska lineární algebry, pozitivní matice, jejich spektrální vlastnosti, modely růstu .Frobeniova věta, spektrální "mezera".
Laplacián a teorie potenciálu na grafech: Dirichletovy formy, Coulombův potenciál, náhodné procházky na mrizi. Gaussovské míry kvadratických forem mnoha proměnných Wickovy formule.
Rovnice vedení tepla na mříži, dráhové "integrály". Feynman Kacovy formule.
Diskrétní Fourierova transformace. Úvod do vlnek (waveletts).
Lineární operátory na konečněrozměrném prostoru: resolventa matice, funkce matic, Laurentovy rozvoje
a Jordanův tvar, spektrální rozklad. Elementy teorie neomezených operátorů na Hilbertově prostoru.
Náhodné matice a jejich spektra.
Pfaffián a antikomutující proměnné
Lineární algebra a statistická fyzika: Clusterové/Mayerovy rozvoje determinantů, Onsagerovo řešení Isingova modelu (netriviální ukázka kombinace LA, kombinatoriky a analýzy)
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
Theory of determinants and Combinatorics. Trees, Kirchhoff theorem.
Probability and Stochastic matrices. Markov chains. Spectral properties of positive matrices,
Frobenius theorem, spectral gap.
Laplacian and the potential theory on lattices and graphs (Dirichlet forms, Coulomb potentials,
random walks). Gaussian measures, Wick formulas.
Heat equation on lattices, path integrals, Feynman Kac formulas.
Discrete Fourier transform. Introduction to waveletts.
Operators on finite dimensional spaces, functions of operators, Laurent series
of the resolvent, Jordan normal form, spectral decomposition. Introduction
to unbounded operators (and corresponding quadratic forms) on Hilbert space.
Random matrices and their spectra.
Pfaffian. Introduction to the calculus of anticommuting variables.
Linear algebra and statistical physics. Mayer expansion. Determinants of Laplace operators.
