Teorie míry a integrálu I - NMAA069

• Anglický název: Measure and Integration Theory I
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2022
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Prerekvizity : {NMAA001 v NMAA002 v NMAA071 v NMAA072}
• Záměnnost : NMMA203
• Je korekvizitou pro: NSTP022
• Je neslučitelnost pro: NMAA169
• Je prerekvizitou pro: NRFA027
• Je záměnnost pro: NMAA068
• Ve slož. neslučitelnosti pro: NMMA203, NMMA205
• Ve slož. záměnnosti pro: NMMA203, NMMA205

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_MUUK (21.04.2008)

Základní přednáška z teorie míry a integrálu. Vztahy mezi různými definicemi integrálu; početní technika integrálního počtu.

angličtina

Poslední úprava: T_MUUK (21.04.2008)

Introductory course on measure theory and integration. Relations between various definitions of the integral; techniques of integral calculus.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: T_MUUK (21.04.2008)

Teorie míry a abstraktního Lebesgueova integrálu jako základ pro další studium moderní matematické analýzy a teorie pravděpodobnosti.

angličtina

Poslední úprava: T_MUUK (21.04.2008)

Abstract integration and measure theory as a basis for the study of modern mathematical analysis and probability theory.

Literatura

Poslední úprava: T_MUUK (24.04.2008)

W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003

J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky III, skripta MFF

J. Lukeš: Příklady z matematické analýzy I. Příklady k teorii Lebesgueova integrálu, skripta MFF

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy. Míra a integrál, skripta MFF

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: T_MUUK (28.04.2008)

přednáška a cvičení

angličtina

Poslední úprava: T_MUUK (28.04.2008)

lecture and exercises

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_MUUK (24.04.2008)

1. Základní pojmy teorie míry.

Sigma - algebra, borelovské množiny, míra, úplná míra, měřitelné funkce, jednoduché funkce.

2. Lebesgueova míra v R^n.

Tvrzení o existenci a jednoznačnosti Lebesgueovy míry a její vlastnosti.

3. Abstraktní integrál.

Zavedení integrálu a základní vlastnosti. Záměna limity a integrálu: Fatouovo lemma, Leviho a Lebesgueova věta. Čebyševova nerovnost.

4. Integrál a míra v R.

Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu a Riemannovu integrálu (důkaz pro spojité funkce). Distribuční funkce a Lebesgue-Stieltjesova míra.

5. Prostory L^p a konvergence posloupností funkcí.

Konvergence skoro všude, Jegorovova věta.

6. Teorie míry.

Obraz míry. Radon - Nikodymova věta a věta o Lebesgueově rozkladu. Náboje. Hahnův a Jordanův rozklad.

angličtina

Poslední úprava: T_MUUK (28.04.2008)

1. Basic notions of measure theory.

Sigma - algebra, Borel sets, measure, complete measure, measurable functions, simple functions.

2. Lebesgue measure in R^n.

Existence and uniqueness of Lebesgue measure and its properties.

3. Abstract integral.

Construction of integral on a measure space. Fatou's lemma, Levi's and Lebesgue's theorems (monotone convergence, dominated convergence). Chebyshev's inequality.

4. Integral and measure in R.

Relation of the Lebesgue, Newton and Riemann integrals. Distribution functions and Lebesgue-Stieltjes measure.

5. L^p spaces and convergence of sequences of functions.

Almost everywhere convergence, Jegorov's theorem.

6. Measure theory.

Image of a measure. Radon - Nikodym theorem and Lebesgue's decomposition. Signed measures. Hahn and Jordan decomposition.