Geometrické metody teoretické fyziky I - NTMF059

• Anglický název: Geometrical Methods of Theoretical Physics I
• Zajišťuje: Ústav teoretické fyziky (32-UTF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2020
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF059
• Garant: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.; doc. RNDr. Robert Švarc, Ph.D.
• Vyučující: Mgr. Ivan Kolář, Ph.D.; doc. RNDr. Robert Švarc, Ph.D.

Anotace

čeština

Základy topologie; diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole; zobrazení variet, difeomorfismy, indukovaná zobrazení, Lieova derivace; vnější kalkulus; kovariantní derivace, paralelní přenos, geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí; (pseudo-)Riemannovy variety, metrické derivace, Levi-Civitova derivace, Killingovy vektory; integrabilita a Frobeniova věta; integrování na varietách, hustoty, integrální věty. Přednáška je určena pro zájemce v závěru bakalářského či začátku magisterského studia.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)

angličtina

Foundations of topology; differentiable manifolds, tangent bundles, vector and tensor fields; maps of manifolds, diffeomorphism, induced mapping, Lie derivative; exterior calculus; covariant derivative, parallel transfer and geodesic curves, torsion and curvature, space of connections; (pseudo-)Riemann manifolds, metric derivatives, Levi-Civita derivative, Killing vectors; integrability and Frobenius theorem; integration on manifolds, integrable densities, integral theorems.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)

Cíl předmětu

čeština

Cílem předmětu je seznámit posluchače s metodami diferenciální geometrie a jejich aplikacemi ve fyzice.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)

angličtina

The goal of this lecture is to acquaint the students with differential geometry and its applications in physics.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zápočet se uděluje za vypracovaný zápočtový problém zadaný během semestru. Pokud odevzdané řešení není vyhovující, je vráceno studentovi k dopracování. Správné řešení musí být odevzdáno do konce zkouškového období zimního semestru. Vyřešení zápočtového problému nelze nahradit jiným způsobem.

Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část se skládá z jednoho příkladu rozsahu odpovídajícímu příkladům řešených na cvičení. Ústní část zahrnuje dvě otázky na témata z aktuálního sylabu v rozsahu probíraném na přednášce.

Hodnocení vychází z celkového výkonu studenta jak v písemné, tak ústní části.

Při nesložení zkoušky další termín obsahuje opět jak písemnou, tak ústní část.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)

angličtina

The credit is awarded for a correct solution of a problem given to the students during the term. If the solution of the problem is not satisfactory, it is returned to the student for revisions. The correct solution has to be submitted to the examiner before the beginning of the spring term. The condition for the credit cannot be fulfilled by other means.

The examination has written and oral parts. The written part contains one problem similar to those solved during the term at seminars. The oral part contains two questions on topics covered by the lectures.

Evaluation is based both on the written and oral parts.

A repeated exam contains both the written and oral parts again.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)

Literatura

čeština

O. Kowalski: Základy Riemannovy geometrie, skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.

P. Krtouš: Geometrické metody ve fyzice, studijní text, WWW, 2006-2014.

C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.

S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.

R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.

R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.

M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.

T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.

Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.

C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.

S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.

M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.

J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)

angličtina

C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.

S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.

R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.

R. Penrose, W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.

M. Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2011.

T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.

Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.

C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.

S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.

M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.

J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)

Metody výuky

čeština

Metodou výuky je přednáška a cvičení.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)

angličtina

The teaching method is a lecture and a seminar.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část se skládá z jednoho příkladu rozsahu odpovídajícímu příkladům řešených na cvičení. Ústní část zahrnuje dvě otázky na témata z aktuálního sylabu v rozsahu probíraném na přednášce.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)

angličtina

The examination has written and oral parts. The written part contains one problem similar to those solved during the term at seminars. The oral part contains two questions on topics covered by the lectures.

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)

Sylabus

čeština

Tenzorový počet

vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů

Diferencovatelné variety

základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky

Zobrazení variet a Lieova derivace

zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace

Vnější kalkulus

vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy

Riemannova a pseudoriemannova geometrie

metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace

Kovariantní derivace

paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor

Prostor kovariantních derivací

pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová derivace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, metrické derivace, tenzor kontorze

Levi-Civitova kovariantní derivace

jednoznačnost, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury, symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor

Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace

vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a tenzory, symetrie

Podvariety a distribuce

vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor; distribuce, podmínky integrability, Frobeniova věta

Integrování na varietách

integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element

Integrální věty

zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Stokesova a Gaussova věta

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)

angličtina

Tensors

vector space and its dual, tensor product, multi-linear tensor maps, transformation of components, tensor notation

Manifolds

basic notion of topology, differential structure, tangent spaces, vector and tensor fields, Lie brackets

Mappings of manifolds and Lie derivative

mappings of manifolds, induced map, diffeomorphism, flow, Lie derivative

Exterior calculus

wedge product, exterior derivative, exact and closed forms

Riemann and pseudo-Riemann geometry

metric, signature, length of curves and distance, Hodge dual, Levi-Civita tensor, coderivative

Covariant derivative

parallel transport, covariant derivative, covariant differential, geodesics, normal coordinates; torsion, Riemann curvature tensor, commutator of covariant derivatives for scalars and general tensors, Bianchi identities, Ricci tensor

Space of covariant derivatives

pseudo-derivative, difference of two connections and differential tensor, coordinate derivative, n-ade derivative, Ricci (spin) coefficients, metric derivatives, contorsion tensor

Levi-Civita covariant derivative

uniqueness, Christoffel symbols, Cartan structure equations, irreducibile splitting of Riemann tensor, Weyl tensor, scalar curvature, Einstein tensor

Relations between Lie, exterior and covariant derivatives

Lie and exterior derivative in terms of covariant derivative; Killing vectors and symmetries

Submanifolds and distributions

immersion and embedding, adjusted coordinates, tangent and normal spaces; distributions, integrability conditions, Frobenius theorem

Integration on manifolds

integrable densities, relation to anti-symmetric forms, integration of forms and densities; tensor of orientation, density dual, metric density; divergence of tensor densities, covariant derivative of densities, derivative annihilating density

Integral theorems

generalized Stokes' theorem for forms, normal and tangent restriction of tensor densities, Stokes and Gauss theorems

Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)