Předměty

Poslední úprava: T_KVOF (26.05.2003)

Úvod, motivace.
Výhody různých formulací problémů mechaniky. Připomenutí hlavních myšlenek newtonovské mechaniky. Meze klasické mechaniky (relativistická a kvantová mechanika).

Lagrangeovský formalizmus a Lagrangeovy rovnice
Vtištěná kontra vazbová síla. Virtuální posunutí a dynamika systémů s vazbami. Zobecněné souřadnice, konfigurační prostor, nezávislost zobecněných souřadnic a zobecněných rychlostí. Odvození Lagrangeových rovnic II. druhu z D'Alembertova principu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem a zobecněným potenciálem (pohyb částice ve vnějším elektromagnetickém poli). Ilustrace: cykloidální kyvadlo, pohyb částice v poli centrální síly, Binetův vzorec.

Pohyb planet a další aplikace
Keplerova úloha: pohyb planet kolem Slunce. Odvození Keplerových zákonů pohybu planet. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, posuv perihelia. Převedení problému dvou těles na poroblém jednoho tělesa. Problém n těles a klasická mechanika, zmínka o deterministickém chaosu.

Hamiltonův princip
Základy variačního počtu: brachistochrona, geodetika v obecné relativitě. Podmínka pro extrém: Eulerovy - Lagrangeovy rovnice. Definice akce. Hamiltonův princip nejmenší akce a jeho důsledky: Lagrangeovy rovnice II. druhu, symetrie a zákony zachování (věta E. Noeterové), stručně o kalibrační transformaci v teorii pole

Hamilotonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky
Zobecněné hybnosti jako kanonicky sdružené proměnné. Fázový prostor a příklady: oscilátor, tlumení, chaos. Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu a z Lagrangeových rovnic. Příklady: harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli. Důležitost Hamiltonova formalizmu v kavantové mechanice a statistické fyzice (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek.

Mechanika tuhého tělesa.
Vektory a tenzory v euklidovském prostoru. Konečné rotace. Infinitesimální rotace a jejich reprezentace antisymetrickými maticemi, definice vektoru úhlové rychlosti jako duálu k nim. Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní hodnoty a vlastní vektory, elipsoid setrvačnosti. Kinetická energie rotujícího tělesa. Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce, Eulerovy dynamické rovnice. Pohyb symetrického setrvačníku.

Popis spojitého prostředí
Přechod od popisu soustavy s konečným počtem hmotných bodů k popisu spojitého prostředí. Ilustrace: Lagrangeova hustota a kmity struny. Odvození Lagraneových - Eulerových rovnic pro kontinuum z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení.

Poslední úprava: T_KVOF (26.05.2003)

Exposition, motivation, and outline
Advantages of alternative formulations of some problem in physics. Recalling of the main ideas and principles of Newtonian mechanics. Limits of classical mechanics (relativistic and quantum mechanics).

Lagranege formalism, Lagrange equations
Acting forces versus forces of constraints. Virtual displacement and dynamics of a system with constraints: d'Alembert's principle.

Generalized coordinates,Configuration space, independence of generalized velocities on generalized coordinates. Derivation of Lagrange's equations of the second kind from d'Alembert's principle. Lagrange's function L : cases without potential, with a potential, with a generalized potential (motion of a particle in given electromagnetic field). Illustration: cycloidal pendulum, motion of a particle in the field of a central force, Binet's equation.

Motion of planets and further applications
Kepler's problem: revolution of planets around the Sun. Derivation of Kepler's laws of planetary motion. Effective potential method. Comparison of classical and relativistic mechanics: motion around the Sun versus motion around a black hole, perihelion shift. Simplification of the problem of two bodies to motion of a single particle with reduced mass. The n-body problem and celestial mechanics: few words about deterministic chaos.

Hamilton's principle
Elements of the calculus of variations (motivation and explanation of main ideas: Fermat's principle, brachistochrone, geodesics in general relativity). Condition for the extreme: the Euler-Lagrange equations. Definition of action, Hamilton's principle of least action. Its main consequences: Lagrange's equations of the second kind, symmetries and the conservation laws (the theorem of Emmy Noether for invariant L ). Briefly about gauge transformations and fields.

Hamilton's canonical equations and the Poisson bracket
Generalised momentum as a canonically conjugate variable. Concept of phase space with some illustrations (oscillator, damping, chaos). Hamiltonian function. Derivation of Hamilton's canonical equations both from Hamilton's principle and from Lagrange's equations. Illustrations of canonical equations (harmonic oscillator, particle in electromagnetic field). Importance of Hamiltonian formalism for quantum theory and statistical physics (partition function). Definition, basic properties, and the algebra of Poisson's brackets.

Mechanics of rigid bodies
Recalling vectors and tensors in Euclidean space. Finite rotations. Infinitesimal rotations and their representation in terms of antisymmetric matrices, definition of the vector of angular velocity as dual to them. The rotation of a rigid body around fixed axis, the inertia tensor. Eigenvalues and eigenvectors, including an interpretation of the inertia ellipsoid. Kinetic energy of a rotational motion. Euler's angles and Euler's kinematic equations. The Lagrange function for a rigid body and derivation of Euler's dynamical equations. Explicit examples: motion of a symmetrical gyroscope and symmetrical top.

Description of continuous media
Transition from a finite system of point masses to a continuous system. Illustration: density of Lagrangian for transverse oscillations of a string. Derivation of the Euler-Lagrange equations for continuum from Hamilton's principle. Wave equation and basic methods of its solution.