Základní přednáška pro 1. ročník bakalářského studia učitelství.
Poslední úprava: T_KDM (23.04.2012)
Basic linear algebra course for prospective teachers.
Poslední úprava: T_KDM (23.04.2012)
Podmínky zakončení předmětu
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Zápočet prověřuje praktické znalosti a dovednosti (početní postupy, ale i odvozování a dokazování).
Nutnou podmínkou pro udělení zápočtu je úspěšné absolvování dvou průběžných testů.
Jeden bude psán přibližně v polovině semestru, druhý na konci semestru.
V součtu lze z obou testů a z aktivní účasti na výuce získat nejvýše 10 bodů, pro udělení zápočtu je nutno získat v součtu alespoň 8 bodů. Počet opravných termínů (tj. termínů kromě termínu řádného): nejvýše dva na každý z testů.
Další podmínkou pro udělení zápočtu je účast na cvičeních (max. tři absence).
Bližší informace k zápočtům jsou k dispozici na stránce:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stepanov/
Další informace jsou na stránce
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~becvar/
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (12.06.2019)
Literatura -
J. Bečvář: Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2000, 2002. 2005, 2010.
J. Bečvář: Vektorové prostory I, II, III, SPN, Praha, 1978, 1981, 1982.
J. Bečvář: Sbírka úloh z lineární algebry, SPN, Praha, 1975.
S. Lang: Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company-Reading, 1966.
I. Satake: Linear Algebra, Marcel Dekker, Inc., New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 1996.
Poslední úprava: Bečvář Jindřich, doc. RNDr., CSc. (02.10.2018)
S. Lang: Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company-Reading, 1966.
I. Satake: Linear Algebra, Marcel Dekker, Inc., New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 1996.
Poslední úprava: Bečvář Jindřich, doc. RNDr., CSc. (02.10.2018)
Požadavky ke zkoušce
Zkouška prověřuje teoretické znalosti, tj. porozumění pojmům (definice), porozumění poznatkům (věty), porozumění matematickému odvozování a zdůvodňování (důkazy), formulační dovednosti (vyjadřování slovem a písmem s využitím matematické symboliky).
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Struktura zkoušky (pět otázek): 1. definice a příklady definovaného pojmu (2 body), 2. definice a příklady definovaného pojmu (3 body), 3. znění věty (2 body), 4. jednoduchý důkaz dané věty (3 body), 5. obtížnější důkaz dané věty (5 bodů). Zkouška je písemná, je na ni dáno 60 minut, z celkového počtu 15 bodů je třeba získat alespoň 9 bodů. Výsledná známka je určena součtem bodů získaných za zápočet a zkoušku: 17 až 19 – dobře, 20 až 22 – velmi dobře, 23 až 25 – výborně.
Poslední úprava: Bečvář Jindřich, doc. RNDr., CSc. (02.10.2018)
Sylabus -
Determinanty. Základní vlastnosti, determinant blokové matice, rozvoj determinantu, věta o násobení determinantů, adjungovaná matice, inverzní matice, Cramerovo pravidlo, vyjádření hodnosti pomocí determinantů; metody výpočtu determinantů; příklady.
Podobnost matic. Charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory, minimální polynom, Cayley-Hamiltonova věta, podobnost matic, Jordanova buňka a Jordanova matice, diagonalizovatelnost, existence Jordanova kanonického tvaru a metody jeho nalezení, vlastní čísla reálné symetrické matice; příklady.
Bilineární formy. Matice a analytické vyjádření bilineární formy, vrcholy forem, symetrické a antisymetrické formy, polární báze, kvadratické formy, formy na reálných prostorech, normální báze a normální tvar, zákon setrvačnosti, signatura, klasifikace forem; příklady.
Prostory se skalárním součinem. Skalární součin, norma, Cauchy-Schwarzova a trojúhelníková nerovnost, ortogonální a ortonormální báze, Gram-Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální transformace, ortogonální matice; příklady.
Poslední úprava: Bečvář Jindřich, doc. RNDr., CSc. (02.10.2018)
Determinants. Basic properties, determinat of a block matrix, the expansion of a determinant under a row and a column, the theorem on multiplication of determinants, adjugate matrix, inverse matrix, Cramer´s rule, rank of a matrix, calculation of determinants; examples.
Similarity, characteristic polynomial of a matrix, eigenvalues and eigenvectors, minimal polynomial of a matrix, Cayley-Hamilton theorem, similarity of matrices, simple Jordan matrix, Jordan matrix, the existence of the Jordan canonical form and the methods of evaluation, eigenvalues of symmetric matrix; examples.
Linear forms and dual space. Matrix and analytical expression of a linear form, dual space, dual basis; examples.
Bilinear forms. Matrix and analytical expression of a bilinear form, verteces, symmetrical and antisymmetrical forms, polar basis, quadratic forms, bilinear and quadratic form on real spaces, normal basis and normal expression, the law of inertia, signature, classification of forms; examples.
